23 Differenzen- und Differenzialquotient 1 Der Differenzenquotient, die mittlere Änderungsrate Lineare Funktionen (Wiederholung und Vertiefung) Funktionen mit der Gleichung f(x) = k · x + d heißen lineare Funktionen. Ihr Graph ist eine Gerade. Die Steigung k gibt die Änderung des Funktionswerts bei Zunahme des x-Wertes um 1 an. Kennt man zwei Punkte P0(x0|y0) und P1(x1|y1), die auf einer Geraden liegen, so kann man die Steigung k der Geraden mithilfe des Differenzenquotienten berechnen. x y x1 – x0 x0 x1 y1 – y0 y = k · x + d P0(x0|y0) P1(x1|y1) Δy y1 y0 d Δx k = y1 − y0 ______ x1 − x0 = f(x1) − f(x0) __________ x1 − x0 = = ∆y ___ ∆x = Differenz der y-Werte ____________________ Differenz der x-Werte Geraden bzw. deren Steigung werden auch zur Beschreibung von anderen, nicht linearen Funktionen verwendet. Die Gerade wird je nach ihrer Lage bezüglich einer Funktion bezeichnet. Lage der Geraden Sekante Tangente Passante Die Gerade schneidet die Funktion in mindestens zwei Punkten. Die Gerade berührt die Funktion in einem Punkt. Die Gerade hat keinen Punkt mit der Funktion gemeinsam. Beispiel 1.7: Sekantengleichung A B a) Stellen Sie den Graphen von f mit f(x) = x 2 __ 4 dar. Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte P(2|f(2)) und Q(6|f(6)) ein. Lösung: x 0 1 2 3 4 5 6 y 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 f(2) = 1, f(6) = 9 Grafik: siehe Randspalte GLEICHUNG EINER SEKANTE So geht's Steigung einer Geraden: siehe 1. Jahrgang x y d 1 k 1 k k y = k · x + d 0 1 2 3 4 5 1 f y x – – – – – – – Sekante Passante Tangente Sekante, Tangente, Passante y P( | ) Q( | ) x – – ∆x = ∆y = y = x k = = ∆y ∆x x = x + ∆x = f(x ) x = f(x ) ∆ (Delta): griechischer Großbuchstabe für D (steht für Differenz) Das Symbol ∆x (sprich: „delta x“) steht für die Differenz oder Änderung von Werten auf der x-Achse. ∆x beschreibt den Abstand (Differenz) zwischen einem Startwert x0 und einem Endwert x1. ∆x = x1 – x0 Differenz der y-Werte: ∆y = y1 – y0 Zeitintervall: ∆t = t1 – t0
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