26 I Differenzialrechnung b) Aus seinen Messdaten ergeben sich vier Beobachtungsintervalle. ▪ Ermitteln Sie den Höhenzuwachs ∆h in jedem der vier Beobachtungsintervalle. ▪ Erklären Sie mithilfe der mittleren Änderungsrate ∆h ___ ∆t , in welchem der vier Beobachtungsintervalle die Pflanze „am schnellsten“ und in welchem der vier Beobachtungsintervalle die Pflanze „am langsamsten“ wächst. Lösung: Intervall Zeitdifferenz ∆t in Tagen Höhenzuwachs ∆h in cm Mittlere Änderungsrate ∆h ___ ∆t in cm ____ Tag [0; 2] 2 – 0 = 2 1 – 0 = 1 1 __ 2 [2; 5] 5 – 2 = 3 3 – 1 = 2 2 __ 3 [5; 7] 7 – 5 = 2 5 – 3 = 2 2 __ 2 = 1 [7; 14] 14 – 7 = 7 6 – 5 = 1 1 __ 7 Am langsamsten wächst die Pflanze im Durchschnitt vom 7. bis zum 14. Tag. Der mittlere Höhenzuwachs beträgt nur ∆h ___ ∆t = 1 __ 7 cm/Tag. Die Gerade durch die Punkte (7|5) und (14|6) hat die kleinste Steigung. Beispiel 1.9: Fahrplan A B Gegeben ist der Fahrplan der ÖBB von Wulkaprodersdorf bis Wien Meidling. Die angegebene Entfernung ist jeweils die Entfernung des Ortes von Wulkaprodersdorf. a) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Zuges zwischen Wulkaprodersdorf und Wien Meidling in allen angegebenen 5 Streckenabschnitten in km/h. Lösung: Abschnitt Zeitdifferenz ∆t in Minuten Wegstrecke ∆s in km Mittlere Geschwindigkeit ∆s ___ ∆t in km ___ h Wulkaprodersdorf – Müllendorf 4 6,5 6,5 km ______ 4 min = 97,5 km ___ h Müllendorf – Neufeld 7 14 – 6,5 = 7,5 7,5 km ______ 7 min ≈ 64,3 km ___ h Neufeld – Ebenfurth 5 16–14=2 2km _____ 5 min = 24 km ___ h Ebenfurth – Ebreichsdorf 7 25–16=9 9km _____ 7 min ≈ 77,1 km ___ h Ebreichsdorf – Wien Meidling 21 52 – 25 = 27 27 km ______ 21 min ≈ 77,1 km ___ h MITTLERE GESCHWINDIGKEIT So geht's Station Entfernung Zeit Wulkaprodersdorf 0 km ab 09:56 Müllendorf 6,5 km an 10:00 ab 10:01 Neufeld/Leitha 14 km an 10:08 ab 10:10 Ebenfurth 16 km an 10:15 ab 10:19 Ebreichsdorf 25 km an 10:26 ab 10:28 Wien Meidling 52 km an 10:49 Durchschnittliche Geschwindigkeit _ v = ∆s ___ ∆t Wien Semmering Wulkaprodersdorf Deutschkreuz Neufeld/L. Sopron Neusiedl/See Ebenfurth Wr. Neustadt Györ
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