28 I Differenzialrechnung 1.012 Temperaturverlauf Das Diagramm zeigt die Temperatur T in °C in Abhängigkeit von der Uhrzeit an einem Novembertag. Temperatur (°C) ø 5,42°C Max: 8,8 Min: 3,7 02:00 04:00 06:00 08:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 00:00 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 00:00 a) Lesen Sie aus dem Diagramm die Temperatur für die angegebenen Zeitpunkte t in Stunden (h) ab Mitternacht ab. t in h 4 8 12 16 18 T(t) in °C b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur ∆T ___ ∆t in °C pro h für die Zeitintervalle [4; 8], [8; 12]; [12; 16] und [16; 18]. Interpretieren Sie jeweils das Vorzeichen. c) Erklären Sie, für welches dieser Zeitintervalle die mittlere Änderungsrate wenig aussagekräftig ist. d) Betrachten Sie die Zwei-Stunden-Intervalle [0; 2], [2; 4] usw. E rmitteln Sie, in welchem dieser Zeitintervalle sich die Temperatur am stärksten ändert. Erklären Sie, wie Sie diese stärkste Temperaturänderung in der Grafik erkennen. 1.013 Kaffee Frisch gebrühter Kaffee kühlt rasch ab. In der Tabelle ist die Temperatur T des Kaffees (in °C) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Minuten) seit Beginn einer Temperaturmessung angegeben. 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 Temperatur in °C 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Zeit in Sekunden Raumtemperatur a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur ∆T ___ ∆t in °C pro Minute für die Zeitintervalle [0; 1], [15; 16], [29; 30], [0; 15] und [15; 30]. b) Interpretieren Sie die Bedeutung der mittleren Änderungsraten für die Intervalle [0; 1] und [29; 30]. c) Erklären Sie anhand der berechneten Änderungsraten, wann sich die Temperatur des Kaffees am schnellsten ändert. Übungsaufgaben: Differenzenquotient C D A B Tragen Sie die Werte in die Tabelle ein. C D A B Zeit t in Minuten Temperatur T in °C 0 55,3 1 52,2 10 36,6 15 32,4 16 31,8 20 29,6 25 27,4 29 26,2 30 25,9
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