35 Differenzen- und Differenzialquotient 1.022 Gewinn Der Gewinn G in Geldeinheiten, der bei einer Produktion von x Mengeneinheiten erzielt wird, lässt sich als Funktion G beschreiben. Der Differenzialquotient an der Stelle x = 250 ist –8. Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Werts im gegebenen Sachzusammenhang. 1.023 Kosten Die Kosten K in Geldeinheiten, um x Tonnen Eisenerz zu gewinnen, sind durch die Funktion K gegeben. Der Differenzialquotient an der Stelle x = 2 000 ist 120. Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Werts im gegebenen Sachzusammenhang. 2.2 Berechnung des Differenzialquotienten mithilfe des Differenzenquotienten, Differenzierbarkeit Beispiel 1.12: Von der Sekanten- zur Tangentensteigung A B C Die lokale Änderungsrate der Funktion f mit f(x) = x 2 __ 4 an der Stelle x0 = 2 kann durch Annäherung von Sekanten an die Tangente ermittelt werden. Intervall [x0; x] ∆x = x – x0 ∆y = f(x) – f(x0) Differenzenquotient ∆y ___ ∆x [2; 6] 4 8 2 [2; 4] 2 3 1,5 [2; 3] 1 1,25 1,25 [2; 2,1] 0,1 0,1025 1,025 [2; 2,01] 0,01 0,010025 1,0025 [2; 2,001] 0,001 0,00100025 1,00025 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x → x0 ∆x → 0 ∆y → 0 ∆x ___ ∆y → 0 y x – – t k = x + ∆x f(x ) x s s s P Q Q Q Geometrische Interpretation: Strebt ∆x gegen null, so ergibt sich z. B. eine Folge von Punkten Q1(6|9), Q2(4|4), Q3(3|2,25), . . ., die sich immer mehr dem Punkt P(2|1) nähern. Entsprechend nähert sich die Folge der zugehörigen Sekanten s1, s2, s3, . . . der Tangente im Punkt P. Die Sekanten „drehen“ sich in die Tangente. ▪ Nach dem vollzogenen Grenzübergang ∆x → 0 erhalten Sie als Grenzwert der Sekantensteigungen die Tangentensteigung. ▪ Die Steigung der Tangente ist die Steigung der Funktion in P. C C Aus der Steigung der Sekante (Differenzenquotient) wird durch Grenzübergang die Steigung der Tangente (Differenzialquotient).
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