9 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 1 Grenzwert In den letzten Schuljahren haben Sie bereits einige Funktionstypen und deren Eigenschaften kennengelernt. In diesem Kapitel wird das Verhalten von Funktionen an Definitionslücken und für unendlich große x-Werte beschrieben. Beispiel 1.1: Verhalten an Definitionslücken B D Die Funktion f(x) = x 2 − x _____ x2 − 1 ist an den Stellen x = 1 und x = –1 nicht definiert, ihre Definitionsmenge D ist ℝ \ {–1, 1}. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph von f dargestellt. y x 0 3 4 1 2 –2 –1 –4 –3 f 2 3 4 1 0,58 0,56 0,54 0,52 0,5 0,48 0,46 0,44 0,94 0,96 0,98 1 1,02 1,04 1,06 1,08 –1 –2 –3 –4 x f(x) –3,5 1,4 –3 1,5 –2,5 1,666 67 –2 2 –1,5 3 –1 undef –0,5 –1 0 0 0,5 0,333 33 1 undef 1,5 0,6 2 0,666 67 2,5 0,714 29 3 0,75 Das Verhalten der Funktion an der Stelle x = –1 unterscheidet sich wesentlich vom Verhalten an der Stelle x = 1. a) Untersuchen Sie das Verhalten von f an der Stelle x = 1. Lösung: An der Stelle x = 1 liegt eine Lücke vor. Der Funktionswert an dieser Stelle kann nicht berechnet werden, da f(1) = 0 __ 0 . Man kann sich aber von links und von rechts an den Wert x = 1 annähern und untersuchen, wie sich die Funktionswerte in der Nähe von x = 1 verhalten. Annäherung an x = 1 von links: Annäherung an x = 1 von rechts: x f(x) x f(x) 0,9 0,4737 1,1 0,524 0,999 0,4998 1,001 0,500 25 0,999 99 0,499 998 1,000 01 0,500 0025 … … … … x → 1– f(x) → 0,5 x → 1+ f(x) → 0,5 Nähert man sich dem x-Wert 1 von links, so nähert sich der Funktionswert 0,5. Nähert man sich dem x-Wert 1 von rechts, so nähert sich der Funktionswert 0,5. GRENZWERT So geht's Annäherung von links Annäherung von rechts 0,9 1,1 1 Wenn Sie x = –1 und x = 1 in den Funktionsterm einsetzen, erhalten Sie eine Division durch null: f(–1) = 2 __ 0 ; f(1) = 0 __ 0 Die Funktion f ist an diesen beiden Stellen nicht definiert. Sprechweise: x → x0 „x strebt gegen x0“ x → x0 – „x strebt von links gegen x0“ x → x0 + „x strebt von rechts gegen x0“ x → ∞ „x strebt gegen unendlich“
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