40 I Differenzialrechnung Beispiel 1.16: Ableitung von Potenzfunktionen B Berechnen Sie jeweils die Ableitung der Funktion f. a) f(x) = 2 · x2 c) f(x) = √ __ 3 · x5 b) f(x) = 7 · x12 d) f(x) = π4 · x4 Lösung: a) f’(x) = 2 · 2 · x = 4 · x kurz: (2 · x2)’ = 4 · x b) f’(x) = 7 · 12 · x11 = 84 · x11 kurz: (7 · x12)’ = 84 · x11 c) f’(x) = √ __ 3·5·x4 kurz: (√ __ 3 · x5)’ = √ __ 3·5·x4 d) f’(x) = π4 · 4 · x3 kurz: (π4 · x4)’ = π4 · 4 · x3 SUMMENREGEL Sind u und v differenzierbare Funktionen, dann sind auch die Summe und die Differenz der beiden Funktionen differenzierbar und es gilt: f(x) = u(x) ± v(x) f’(x) = u’(x) ± v’(x) Beispiel 1.17: Ableitung von Polynomfunktionen B Berechnen Sie jeweils die Ableitung der gegebenen Funktion. a) f(x) = x2 + x5 b) f(x) = 5 · x3 – 7 · x2 + 4 · x – 3 c) f(x) = 4 · x7 – 3 · x3 + 3 √ __ 4 Lösung: a) f’(x) = 2 · x + 5 · x4 b) f’(x) = 5 · 3 · x2 – 7 · 2 · x + 4 – 0 = 15 · x2 – 14 · x + 4 c) f’(x) = 4 · 7 · x6 – 3 · 3 · x2 + 0 = 28 · x6 – 9 · x2 Beispiel 1.18: Ableitung nach anderen Variablen B Berechnen Sie jeweils die Ableitung der gegebenen Funktion. a) g(a) = 4 · a7 – 3 · a3 + 3 √ __ 4 b) h(r) = √ __ 2 · r6 + π · r5 – 3 · r + 1 c) s(t) = 3 __ 7 · t7 – 5 · t5 – 1 __ 2 · t + sin(30°) Lösung: a) g’(a) = 28 · a6 – 9 · a2 b) h’(r) = √ __ 2·6·r5 + π · 5 · r4 – 3 c) s’(t) = 3 · t6 – 25 · t4 – 1 __ 2 FAKTORREGEL So geht's SUMMENREGEL So geht's SUMMENREGEL So geht's 2, 7, √ _ 3 und π4 sind reelle Zahlen. Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen. (u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x) In der Praxis werden Funktionen und Variablen häufig mit anderen Buchstaben bezeichnet. g’(a) = dg ___ da h’(r) = dh ___ dr s’(t) = ds ___ dt sprich: „dg nach da“
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