16 I Differenzialrechnung DEFINITION: STETIGKEIT Eine Funktion f ist stetig an der Stelle x0 ∈ D, wenn ▪ der Grenzwert lim x→x0 f(x) existiert, und ▪ der Grenzwert mit dem Funktionswert an dieser Stelle x0 übereinstimmt. lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) = f(x0) Ist eine der zwei Forderungen der Stetigkeitsdefinition nicht erfüllt, dann ist die Funktion f unstetig an der Stelle x0. DEFINITION: STETIGKEIT IN EINEM INTERVALL Eine Funktion f ist stetig in einem Intervall, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls stetig ist. Beispiel 1.5: Typen stetiger und unstetiger Funktionen C Die Graphen zeigen einige typische Fälle für Stetigkeit und Unstetigkeit einer Funktion f an einer Stelle x0. y x x f y x x f y x x f y x x f y x x f y x f y x f y x x f y x x f y x y x f y x x f y x f y x x f f stetig auf D = ℝ und glatt lim x→x0 f(x) = f(x0) f stetig auf D = ℝ mit Knick lim x→x0 f(x) = f(x0) f stetig auf D = ℝ \ {x0} Lücke an der Stelle x0 lim x→x0 f(x) existiert, f(x0) existiert nicht y x x f y x x f y x x f y x x f y x x f y x x f y x x f y x x f y x f y x x f stetig auf D = ℝ \ {x0} Sprungstelle an der Stelle x0 lim x→x0 f(x) existiert nicht f(x0) existiert stetig auf D = ℝ \ {x0} Pol an der Stelle x0 lim x→x0 f(x) ist keine reelle Zahl f(x0) existiert nicht Von Stetigkeit kann man nur an einer Stelle x0 ∈ D sprechen, an der die Funktion auch definiert ist. Stetig an der Stelle x0 bedeutet: Der Grenzwert der Funktion an der Stelle x0 ist gleich dem Funktionswert an der Stelle x0.
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