47 Differenzen- und Differenzialquotient 1.037 Schachtel Aus einem Karton (a = 25 cm und b = 20 cm) werden an den Ecken Quadrate abgeschnitten. Dann wird der Karton zu einer Schachtel gefaltet. b x x x x x x x x a y z Aus der Volumsformel V = x · y · z ergibt sich durch Einsetzen von y = a – 2 · x und z = b – 2 · x die Funktion V mit V(x) = x · (a – 2 · x) · (b – 2 · x) V(x) = 4 · x3 – 90 · x2 + 500 · x x Höhe der Schachtel in cm V(x) Volumen der Schachtel in cm3 a) Stellen Sie das Volumen V der Schachtel in Abhängigkeit von der Höhe x grafisch dar. Lesen Sie aus dem gezeichneten Graphen ab: ▪ die Höhe x, bei der das Volumen der Schachtel maximal wird, ▪ das maximale Volumen der Schachtel, ▪ den Bereich für x, für den V(x) ⩾ 0 ist und ▪ den Bereich von x, für den V fallend ist. b) Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks V(8) – V(6) __________ 8 – 6 . Erklären Sie, was dieser Wert aussagt. c) Kreuzen Sie die Aussage an, die den Ausdruck V(8) – V(6) __________ 8 – 6 korrekt interpretiert. [1 aus 5] A Das Volumen der Schachtel für die Höhe x = 6 cm. □ B Um wie viel das Volumen der Schachtel steigt/fällt, wenn die Höhe von x = 6 cm um 2 cm vergrößert wird. □ C Die Steigung der Sekante an den Graphen von V im Intervall [6; 8]. □ D Um wie viel Prozent das Volumen der Schachtel pro Zentimeter steigt/fällt, wenn die Höhe von x = 6 cm um 1 cm vergrößert wird. □ E Die lokale Änderungsrate bei x = 6. □ Was gibt der Wert des Ausdrucks an? d) Berechnen Sie die lokale Änderungsrate an der Stelle x = 6. Interpretieren Sie den berechneten Wert. C D A B Die aus dem Karton gefaltete Schachtel hat die Länge y, die Breite z und die Höhe x.
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