253 Lösungen Z 1.1 a) 1 –4 –3 –2 –1 –9 2 3 4 5 6 2 –2 –4 –6 –8 –10 –12 4 6 8 10 12 14 y x 0 –8 –7 –6 f –5 b) Grenzwert für x0 = 5: lim ∆x→0 (5 + ∆x) − 5 ____________ (5 + ∆x)2 − 25 = lim ∆x→0 ∆x ____________________ 25 + 10 · ∆x + ∆x2 − 25 = lim ∆x→0 ∆x ____________________ 10 · ∆x + ∆x2 = lim ∆x→0 ∆x ____________________ ∆x · (–10 + ∆x) = lim ∆x→0 1 ___ 10 + ∆x = 1 ___ 10 Lücke, da der Grenzwert existiert Grenzwert für x0 = –5: lim ∆x→0 (–5 + ∆x) − 5 ____________ (–5 + ∆x)2 − 25 = lim ∆x→0 ∆x – 10 ____________________ 25 – 10 · ∆x + ∆x2 − 25 = lim ∆x→0 ∆x – 10 ____________________ –10 · ∆x + ∆x2 = lim ∆x→0 ∆x – 10 ____________________ ∆x · (–10 + ∆x) = lim ∆x→0 1 ___ ∆x = ∞ Polstelle, der Grenzwert existiert nicht c) stetig auf D = ℝ \ {–5; 5} Z 1.2 D = ℝ \ {x0, x2, x4} stetig Lücke/Pol/Sprungstelle stetig Lücke/Pol/Sprungstelle x0 Polstelle x3 Sprungstelle x1 Sprungstelle x4 Lücke x2 Polstelle x5 x Z 1.3 1 → C und 2 → B Z 1.4 a) Die Anzahl nähert sich dem Wert 85 Millionen. b) für t → ∞ wird e0,699 · t sehr groß und e0,699 · t = 1 ______ e0,699 · t nähert sich dem Wert 0, daher nähert sich N an 85 _____ 1 + 0 = 85. Differenzen- und Differenzialquotient 1.009 a) 5; 2 –6 –4 –2 4 6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y x 0 f B 15 A 3 b) 1 3 __ 8 ; 1 4 –5 –4 –3 –2 –1 –1 1 2 –2 –3 –4 –5 y x 0 f 2,75 2 3 A 2 B 1.010 a) α ≈ 75,964° b) α ≈ 26,565° c) α = 135° 1.011 a) 5 b) – 5 __ 4 c) √ ____ 2 – 1 ≈ 0,414
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