32 I Differenzialrechnung 2.1 Interpretation des Differenzialquotienten Der Differenzialquotient an einer Stelle x0 gibt die Steigung der Tangente an die Funktion an dieser Stelle an. Er ist aber gleichzeitig auch ein Näherungswert für die Änderung des Funktionswerts bei Erhöhung des x-Wertes um 1. f’(x0) ≈ f(x0 + ∆x) − f(x0) ______________ ∆x Für ∆x = 1 gilt näherungsweise: f’(x0) ≈ f(x0 + 1) − f(x0) ______________ 1 , daraus folgt: f(x0 + 1) ≈ f(x0) + f’(x0) Tangente oberhalb Tangente unterhalb y x x0 + 1 x0 f(x0) f’(x0) f(x0 + 1) f(x0) P f y x x0 + 1 x0 f(x0) f’(x0) f(x0 + 1) f(x0) P f Verläuft die Tangente oberhalb des Funktionsgraphen, ist f(x0 + 1) < f(x0) + f’(x0). Verläuft die Tangente unterhalb des Funktionsgraphen, ist f(x0 + 1) > f(x0) + f’(x0). Beispiel 1.11: Flächeninhalt des Quadrats A C In der Randspalte ist der Graph der Funktion A dargestellt, die den Flächeninhalt eines Quadrats in Abhängigkeit von der Seitenlänge s beschreibt. Ermitteln Sie grafisch a) die mittlere Änderungsrate von A im Intervall [2; 3]. b) die lokale Änderungsrate von A an der Stelle s = 2. Lösung: a) A 1 2 3 4 5 A(s) in m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 s in m 1 9 – 4 = 5 Die mittlere Änderungsrate im Intervall [2; 3] beträgt 5 m2/m. b) A 1 2 3 4 5 A(s) in m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 s in m 1 8 – 4 = 4 Die lokale Änderungsrate an der Stelle s = 2 beträgt 4 m2/m. VERGLEICH MITTLERE UND LOKALE ÄNDERUNGSRATE So geht's Differenzenquotient: Steigung der Sekante im Intervall [x0; x1] Differenzialquotient: Steigung der Tangente an der Stelle x0 A 1 2 3 4 5 A(s) in m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 s in m
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