43 Differenzen- und Differenzialquotient Zusammenfassung Änderungsmaße Für eine auf einem Intervall [a; b] definierte reelle Funktion f gilt: Absolute Änderung von f in [a; b]: f(b) – f(a) Relative (prozentuelle) Änderung von f in [a; b]: f(b) − f(a) _________ f(a) für f(a) ≠ 0 Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) von f in [a; b] bzw. in [x; x0 + ∆x]: f(b) − f(a) _________ b – a bzw. f(x0 + ∆x) − f(x0) _____________ ∆x für b ≠ a bzw. ∆x ≠ 0 Differenzialquotient (lokale bzw. „momentane“ Änderungsrate) von f an der Stelle x0: f’(x0) = lim x→x1 f(x1) − f(x0) _________ x 1 − x0 bzw. f’(x0) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) _____________ ∆x Grafische Veranschaulichung: Der Differenzenquotient von f in [a; b] entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte (a|f(a)) und (b|f(b)). Der Differenzialquotient von f an der Stelle x0 entspricht der Steigung der Tangente an f im Punkt (x0|f(x0)). Beispiel 1.20 B C D Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = –x2 + 4 · x + 2. a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f und die Sekante für das Intervall [1; 4]. Ermitteln Sie die Steigung dieser Sekante und kontrollieren Sie Ihr Ergebnis anhand der Grafik. Lösung: Zeichnung: siehe Randspalte f(1) = 5; f(4) = 2, d. h., die Sekante geht durch die Punkte P(1|5) und Q(4|2). Sekantensteigung im Intervall [1; 4]: k = ∆y ___ ∆x = f(4) – f(1) _________ 4 – 1 =2–5 _____ 4 – 1 = –3 ___ 3 = –1 b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate (Sekantensteigung) für das Intervall [1; 1,1]. Lösung: f(1) = 5; f(1,1) = 5,19 mittlere Änderungsrate k = ∆y ___ ∆x = f(1,1) – f(1) __________ 1,1 – 1 = 5,19 – 5 _______ 1,1 – 1 = 0,19 ____ 0,1 = 1,9 SEKANTEN- UND TANGENTENSTEIGUNG So geht's f y x b f(a) a f(b) b – a Sekante f(b) – f(a) P P Differenzenquotient α) f y x f(x ) x Tangente P Differenzialquotient x y – – – k = – k = P( | ) Q( | ) y = –x + · x + α
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