44 I Differenzialrechnung c) Zeichnen Sie die Tangente an der Stelle x = 1. Ermitteln Sie die Tangentensteigung an der Stelle x = 1. Ermitteln Sie den Steigungswinkel der Tangente. Lösung: Die Tangentensteigung berechnen Sie mithilfe der Ableitung an der Stelle x = 1: f’(x) = –2 · x + 4 k = f’(1) = –2 · 1 + 4 = 2 Tangentensteigung k = 2 Die Steigung der Tangente k = 2 ist die lokale Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x = 1. Für den Steigungswinkel α gilt: tan(α) = k und α = arctan(k) tan(α) = 2 ⇔ α = arctan(2) ≈ 63,4° d) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt P(1|5). Lösung: Setzen Sie die Koordinaten des Punktes P(1| 5) und die Steigung k = 2 in die Geradengleichung y = k · x + d ein, können Sie den Achsenabschnitt d der Tangentengleichung berechnen: t: y = k · x + d 5 = 2 · 1 + d ⇔ d = 3 t: y = 2 · x + 3 Tangentengleichung e) Ermitteln Sie, an welcher Stelle die Funktion f die Steigung 1 hat. Lösung: Zu berechnen ist, an welchen Stellen die Ableitungsfunktion f’ den Wert 1 hat. Somit ist die Gleichung f’(x) = 1 zu lösen. f’(x) = –2 · x + 4 k = f’(x) = 1; x = ? –2 · x + 4 = 1 2 · x = 3 x = 1,5 Die Funktion f hat an der Stelle x = 1,5 die Steigung 1. f) Ermitteln Sie, an welcher Stelle die Funktion eine waagrechte Tangente hat. Lösung: Eine waagrechte (oder horizontale) Tangente hat die Steigung k = 0. Zu berechnen ist, an welchen Stellen die Ableitungsfunktion f’ den Wert 0 hat. Somit ist die Gleichung f’(x) = 0 zu lösen. f’(x) = –2 · x + 4 k = f’(x) = 0; x = ? –2 · x + 4 = 0 x = 2 Die Funktion f hat an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.
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