46 I Differenzialrechnung 1.034 Sekanten- und Tangentensteigung Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x3 − 3 · x2 + 2. Der Graph der Funktion f ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt. a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall [1; 3] und zeichnen Sie die zugehörige Sekante in der Abbildung ein. b) Berechnen Sie die lokale Änderungsrate an der Stelle x = 1 und zeichnen Sie die zugehörige Tangente in der Abbildung ein. c) Ermitteln Sie jene Stellen, an denen die Funktion die Steigung k = 9 hat. d) Ermitteln Sie jene Stellen, an denen die Funktion horizontale Tangenten hat. 1.035 Änderungsraten und Tangenten Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x3 – 4 · x2 – x + 4. a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall [–2; 5]. b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall [1; 3] und zeichnen Sie die Sekante. Interpretieren Sie die mittlere Änderungsrate im Sachverhalt. c) Berechnen Sie die lokale Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x = 1. Interpretieren Sie die lokale Änderungsrate im Sachverhalt. d) Ermitteln Sie, an welchen Stellen die Funktion die Steigung 1 hat. e) Ermitteln Sie, an welchen Stellen die Funktion horizontale Tangenten hat. 1.036 Produktionszyklus Der Produktlebenszyklus eines Produktes beschreibt den mengenmäßigen Umsatz U in Abhängigkeit von der Zeit t. Für ein bestimmtes Produkt gilt die Funktion U mit U(t) = 0,01 · (35 · t2 – 0,8 · t3). t Zeit in Wochen seit Produkteinführung U(t) Umsatzmenge in ME/Woche t Wochen nach Produkteinführung t in Wochen 0 10 20 30 40 U(t) in ME/Woche t Wochen nach Produkteinführung 0 27 76 99 48 a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate für das Zeitintervall [10; 20]. Interpretieren Sie diese Änderungsrate. b) Ermitteln Sie die momentane Änderungsrate nach 10 Wochen. Interpretieren Sie diese Änderungsrate. c) Berechnen Sie den Ausdruck U’(40). Interpretieren Sie Ihr Ergebnis im gegebenen Sachzusammenhang. d) Berechnen Sie den relativen Umsatzrückgang im Zeitintervall [30; 40]. e) Lesen Sie aus der Grafik ab, wann das Produkt nicht mehr abgesetzt werden kann. Übungsaufgaben: Änderungsmaße A B 1 2 3 4 y 1 –1 –2 –3 2 3 x –1 0 f B C C A B 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 0 U U(t) in ME/Woche t in Wochen
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