45 Differenzen- und Differenzialquotient Beispiel 1.21: Wasserstand B C D Der zeitliche Verlauf des Wasserstands in einem Stausee kann für einen bestimmten Zeitraum näherungsweise durch die Funktion h beschrieben werden: h(t) = –8 · 10–6 · t3 + 0,001 · t2 · + 0,005 · t + 2 t Zeit in Stunden seit Beobachtungsbeginn h(t) Wasserstand zur Zeit t in m 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 h(t) in m 1 2 3 4 5 t in h 0 h a) Berechnen Sie, um wie viel Zentimeter der Wasserstand in den ersten 24 Stunden zugenommen hat. Lösung: Absolute Änderung: h(24) – h(0) ≈ 2,59 – 2 = 0,59 Der Wasserstand hat um rund 59 cm zugenommen. b) Zeigen Sie, dass der Wasserstand in den ersten 24 Stunden um insgesamt rund 30 % zugenommen hat. Lösung: Relative Änderung: h(24) − h(0) ___________ h(0) ≈ 2,59 − 2 _______ 2 = 0,295 Die Zunahme beträgt rund 30 %. c) Berechnen Sie den Differenzenquotient für das Zeitintervall [24; 72]. Interpretieren Sie die Bedeutung Ihres Ergebnisses im gegebenen Sachzusammenhang. Lösung: Differenzenquotient: h(72) − h(24) ____________ 72 − 24 ≈ 4,56 − 2,59 __________ 48 = 0,041 Im Zeitintervall [24; 72] steigt der Wasserstand um rund 4,1 cm pro Stunde. d) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t = 72. Zeichnen Sie die zugehörige Tangente in der Grafik ein. Lösung: Differenzialquotient: h’(t )= –24 · 10–6 · t2 + 0,002 · t + 0,005 h’(72) ≈ 0,025 Zu diesem Zeitpunkt steigt der Wasserstand um 2,5 cm. ÄNDERUNGSMASSE So geht's Zu Beispiel 1.21 d) 20 40 60 80 100 120 1 2 3 4 5 t in h 0 h(t) in m h
RkJQdWJsaXNoZXIy NjMwNzc=