48 I Differenzialrechnung 1.038 Auffangbecken Die Wassermenge in einem Auffangbecken nach einem heftigen Gewitter kann durch die Funktion W beschrieben werden. W(t) = 1 ____ 180 · t3 – 2 · t2 + 240 · t t Zeit in Minuten W(t) Wassermenge nach t Minuten in Litern 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 110 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000 t in min 0 W(t) in L W a) Ermitteln Sie grafisch die Steigung der Tangente an der Stelle 0. Interpretieren Sie das Ergebnis im gegebenen Sachzusammenhang. b) Das Fassungsvermögen des Beckens beträgt 10 000 Liter. Lesen Sie aus der Grafik ab, wann drei Viertel des Fassungsvermögens erreicht wird. c) Berechnen Sie, um wieviel Prozent die Wassermenge in der zweiten halben Stunde gestiegen ist. d) Es wird der Ausdruck W(60) − W(30) _____________ 60 − 30 = 95 berechnet. Interpretieren Sie die Bedeutung der Zahl 95 im gegebenen Sachzusammenhang. e) Berechnen Sie W’(100). Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Ausdrucks im gegebenen Sachzusammenhang und gegeben Sie die zugehörige Einheit an. 1.039 Produktionskosten Die Gesamtkostenfunktion für die Herstellung eines Produkts lautet: K(x) = 1 ___ 15 · x3 – 36 · x2 + 7 600 · x + 360 000 x produzierte Menge in ME K(x) Gesamtkosten für x ME in Euro a) Berechnen Sie die lokale Änderungsrate an der Stelle x = 180 ME. Interpretieren Sie das Ergebnis im gegebenen Sachzusammenhang und geben Sie die zugehörige Einheit an. b) Ordnen Sie den beiden Ausdrücken die passende Beschreibung aus A) – D) zu. K(180) − 360 000 _______________ K(180) A Durchschnittliche Zunahme der Kosten für den Produktionsbereich von 0 ME bis 180 ME B Unterschied der Kosten bei einer Produktion von 180 ME und bei Produktionsstillstand K(180) − 360 000 _______________ 180 C Lokale Kostenzunahme für den Produktionsbereich von 0 ME bis 180 ME D Relative Kostenzunahme bei einer Produktion von 180 ME und bei Produktionsstillstand c) Berechnen Sie, um wieviel Prozent die Gesamtkosten steigen, wenn die Produktionsmenge von 180 ME auf 360 ME verdoppelt wird. C A B C A B
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