54 II Eigenschaften von Polynomfunktionen 1 Grafische Kurvendiskussion Im Folgenden gilt für alle Intervalle stets, dass die betreffende Funktion in diesem Intervall stetig und in allen Stellen im Inneren des Intervalls differenzierbar ist. 1.1 Monotonie und Extremstellen Monotonieverhalten Zwischen dem Monotonieverhalten einer Funktion und ihrer ersten Ableitung gib es einen einfachen Zusammenhang. Mithilfe der ersten Ableitung kann man berechnen, in welchen Intervallen eine Funktion steigt oder fällt. DEFINITION: MONOTONIE ▪ Eine Funktion f heißt in einem Intervall [a; b] streng monoton steigend, wenn für alle x1 < x2 in diesem Intervall gilt: f(x1) < f(x2) ▪ Eine Funktion f heißt in einem Intervall [a; b] streng monoton fallend, wenn für alle x1 < x2 in diesem Intervall gilt: f(x1) > f(x2) ▪ Der Zusatz „streng“ entfällt, wenn f(x1) ⩽ f(x2) bzw. f(x1) ⩾ f(x2) gilt. SATZ: ZUSAMMENHANG ZWISCHEN MONTONIEVERHALTEN UND ERSTER ABLEITUNG Wenn für alle Stellen im Inneren des Intervalls [a; b] gilt steigend fallend x x f(x) f’(x) f f ’ a b x x f(x) f’(x) f f ’ a b f ist streng monoton steigend, dann gilt f ’ > 0 (der Graph von f ’ liegt oberhalb der x-Achse). f ist streng monoton fallend, dann gilt f ’ < 0 (der Graph von f ’ liegt unterhalb der x-Achse). Extrema Bei der Untersuchung der Eigenschaften von Funktionen ist die Ermittlung von Extremwerten (Maxima und Minima) von besonderer Wichtigkeit. Man unterscheidet dabei zwischen lokalen/relativen und absoluten Extremwerten. ▪ Ein lokales/relatives Extremum bezieht sich auf die Umgebung der Stelle. ▪ Ein absolutes Extremum bezieht sich auf das gesamte zu untersuchende Intervall. x y f f(x ) a b x x f(x ) Graph einer im Intervall [a; b] streng monoton steigenden Funktion x y f f(x ) a b x x f(x ) Graph einer im Intervall [a; b] streng monoton fallenden Funktion Farbenlegende Zur besseren Veranschaulichung werden nach Möglichkeit immer die gleichen Farben verwendet: Funktion f 1. Ableitung f’ 2. Ableitung f’’
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