55 Eigenschaften von Polynomfunktionen Daher können lokale/relative Extrema mithilfe der ersten Ableitung ermittelt werden. Eine Funktion kann mehrere relative Extrema haben. Lokales/Relatives Extremum Hochpunkt Tiefpunkt x x y U H(x |f(x )) f(x ) f(x ) relatives Maximum f x x y U T(x |f(x )) f(x ) f(x ) relatives Minimum f x x y U H(x |f(x )) f(x ) f(x ) relatives Maximum f x x y U T(x |f(x )) f(x ) f(x ) relatives Minimum f Eine Funktion f hat an der Stelle x0 einen lokalen/relativen Hochpunkt, wenn für alle x ≠ x0 in einer Umgebung U von x0 gilt: f(x) < f(x0) Eine Funktion f hat an der Stelle x0 einen lokalen/relativen Tiefpunkt, wenn für alle x ≠ x0 in einer Umgebung U von x0 gilt: f(x) > f(x0) x0 heißt Stelle des lokalen/ relativen Maximums. f(x0) heißt lokalen/relatives Maximum. H(x0|f(x0)) heißt lokalen/relativer Hochpunkt. x0 heißt Stelle des lokalen/ relativen Minimums. f(x0) heißt lokalen/relatives Minimum. T(x0|f(x0)) heißt lokalen/relativer Tiefpunkt. SATZ: NOTWENDIGE BEDINGUNG FÜR EIN LOKALES/RELATIVES EXTREMUM x0 ist eine lokale/relative Extremstelle von f ⇒ f ’(x0) = 0 Beachten Sie: Die Umkehrung dieses Satzes gilt im Allgemeinen nicht immer. Das heißt, das Vorliegen einer horizontalen Tangente muss nicht unbedingt auf ein Extremum hinweisen. Es kann sich beispielweise wie in der Abbildung auch um einen sogenannten Sattelpunkt (Terrassenpunkt) handeln. Aus diesem Grund spricht man hier von einer notwendigen Bedingung (im Gegensatz zu einer hinreichenden Bedingung). Absolute (globale) Extrema ▪ Eine Funktion f hat an der Stelle x0 einen absoluten Hochpunkt, wenn im untersuchten Intervall gilt: f(x) ⩽ f(x0) ▪ Eine Funktion f hat an der Stelle x0 einen absoluten Tiefpunkt, wenn im untersuchten Intervall gilt: f(x) ⩾ f(x0) ▪ Absolute Extrema liegen entweder an der Stelle eines lokalen/relativen Extremums oder am Rand des untersuchten Intervalls (Randextremum). Man unterscheidet: x0 Extremstelle x-Wert des Extrempunktes f(x0) Extremwert y-Wert des Extrempunktes (x0|f(x0)) Extrempunkt x y – – – – y = x x = f'( ) = Bei ( | ) liegt kein Extremum vor. In jedem lokalen/relativen Extremum liegt eine waagrechte Tangente vor.
RkJQdWJsaXNoZXIy NjMwNzc=