14 I Differenzialrechnung b) f(x) = 10 000 – 9 500 · e–0,022 · x Lösung: f(x) = 10 000 − 9 500 · e–0,022 · x = 10 000 − 9 500 _______ e0,022 · x Für x→∞ nähert sich 9 500 _______ e0,022 · x dem Wert 0. (Vergleichen Sie lim x→∞ 1 __ ex = 0.) Damit nähert sich die Funktion dem Wert 10 000 – 0 = 10 000. c) f(x) = 200 ____________ 4 + 2 · e–0,27 · x Lösung: Für x→∞ nähert sich e–0,27 · x dem Wert 0. (Vergleichen Sie lim x→∞ 1 __ ex = 0.) Damit nähert sich die Funktion dem Wert 200 _______ 4 + 2 · 0 = 50. 1.001 Polstelle oder Lücke? Stellen Sie die Funktionen grafisch dar und entscheiden Sie, ob an den angegebenen Stellen eine Polstelle oder eine Lücke vorliegt. Ermitteln Sie gegebenenfalls den Grenzwert an der Stelle x0. a) f(x) = x 2 − 9 _____ x − 4 für x0 = 4 b) f(x) = x 2 − 4 _____ x + 2 für x0 = –2 c) f(x) = x 2 − 18 ______ x + 3 für x0 = –3 d) f(x) = x 2 − 5 · x ________ x2 − 25 für x0 = 5 und x0 = –5 1.002 Grenzwertberechnung Berechnen Sie den Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0. Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis mit Technologie. a) f(x) = x 2 __ x ; x0 = 0 b) f(x) = x 2 − 4 _____ x + 2 ; x0 = –2 c) f(x) = x − 3 _____ x2 − 9 ; x0 = 3 d) f(x) = x 2 − 5 · x ________ x2 − 25 ; x0 = 5 e) f(x) = x − 4 ______ x2 − 16 ; für x0 = –4 f) f(x) = x − 3 _____ x2 − 9 ; x0 = –3 1.003 Grenzwertberechnung mit einer Tabelle Ermitteln Sie mithilfe einer geeigneten Tabelle. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit CAS. a) lim x→∞(1 + 1 __ x ) x b) lim x→0+ xx 1.004 Grenzwertberechnung von Exponentialfunktionen Argumentieren Sie, welchem Wert sich der Funktionswert für x→∞ annähert. a) f(x) = e–x b) f(x) = 50 ___________ 1 + 4 · e−0,1 · x c) f(x) = 100 ____________ 4 + 5 · e−0,02 · x d) f(x) = 21 – 20,5 · e–0,2 · x Übungsaufgaben: Grenzwert von Funktionen B C Tipp: Ersetzen Sie x durch x0 + ∆x und berechnen Sie den Grenzwert für ∆x→0. B B Beachten Sie: 00 ist nicht definiert. D 0 5 10 15 10 20 30 x f(x) 20 25 40 50 f 0 100 200 300 2 000 4 000 6 000 x f(x) 400 500 8 000 10 000 f
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