15 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 2 Stetigkeit Oft werden Messwerte von empirisch ermittelten Datenpaaren in zusammenhängenden Kurven dargestellt. Dabei setzt man voraus, dass üblicherweise Funktionswerte nicht regellos von einem Funktionswert zu einem anderen Wert springen, ohne die Funktionswerte dazwischen anzunehmen. Jede Funktion mit y = f(x), deren Graph ohne Absetzen des Zeichenstiftes gezeichnet werden kann, ist ein Beispiel einer stetigen Funktion. Die Stetigkeit ist ein zentraler Begriff der Analysis und wird hier zunächst anschaulich erklärt. Beispiel 1.4: Stetige und unstetige Funktionen C a) Frau M. unternimmt eine kurze Autofahrt in der Stadt. Anfangs beschleunigt sie das Auto und fährt dann einige Zeit mit fast konstanter Geschwindigkeit. Vor einem Zebrastreifen muss sie das Auto stark abbremsen, danach beschleunigt sie wieder kurz und kommt schließlich ans Ziel. Die Grafik zeigt die Geschwindigkeit des Autos während der Fahrt. Uhrzeit Geschwindigkeit in km/h 30 40 10 20 925 928 931 932 933 50 Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm kann ohne Absetzen gezeichnet werden. b) Das Parken in einer Tiefgarage kostet ▪ für die erste Stunde € 2,20, ▪ für jede weitere halbe Stunde € 1,10 und ▪ maximal pro Tag € 15,00. Stellen Sie den Tarif in Abhängigkeit von der Parkdauer grafisch dar: Der Graph zeigt eine Sprungstelle bei der Parkdauer 1 h und dann nach jeder weiteren halben Stunde bis 6,5 h. Grafische Interpretation der Stetigkeit Man erkennt eine stetige Funktion daran, dass ihr Graph ohne Absetzen gezeichnet werden kann. Die grafische Interpretation der Stetigkeit ist aber zu unpräzise und muss exakter definiert werden. Der Graph einer stetigen Funktion kann ohne Absetzen gezeichnet werden. Die Geschwindigkeitsfunktion ist stetig. Die Tariffunktion ist unstetig.
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