18 I Differenzialrechnung 3 Symmetrie Bei den Potenzfunktionen haben Sie bereits zwischen Funktionen, die symmetrisch bezüglich der y-Achse (zum Beispiel f(x) = x2) und Funktionen, die symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs sind (zum Beispiel f(x) = x3) unterschieden. Symmetrische Funktionen Gerade Funktion Ungerade Funktion x y 0 f f(x) –x x f(–x) x y 0 f f(x) –x x f(–x) Eine Funktion f heißt gerade, wenn ihr Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse ist, d. h., wenn für alle x ∈ D gilt: f(–x) = f(x) Eine Funktion f heißt ungerade, wenn ihr Graph punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, d. h., wenn für alle x ∈ D gilt: f(–x) = –f(x) Beispiel 1.6 C D Entscheiden Sie, ob die Funktionen gerade oder ungerade sind. a) f(x) = x4 – 2 · x2 + 5 Lösung: f(–x) = (–x)4 – 2 · (–x)2 + 5 = x4 – 2 · x2 + 5 = f(x) Die Funktion f ist eine gerade Funktion. Ihr Graph verläuft symmetrisch bezüglich der y-Achse. b) f(x) = 2 · x5 – 4 · x3 Lösung: f(–x) = 2 · (–x)5 – 4 · (–x)3 = –2 · x5 + 4 · x3 = –(2 · x5 – 4 · x3) = –f(x) Die Funktion f ist eine ungerade Funktion. Ihr Graph verläuft symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. c) f(x) = x3 + 1 Lösung: f(–x) = (–x)3 + 1 = –x3 + 1 Die Funktion f ist weder gerade, da –x3 + 1 ≠ x3 + 1 = f(x) noch ungerade, da –x3 + 1 ≠ –(x3 + 1) = –f(x) GERADE UND UNGERADE FUNKTIONEN So geht's ▪ Wegen (–x)2 · n = x2 · n sind alle Potenzfunktionen mit gerader Hochzahl gerade, ▪ wegen (–x)2 · n + 1 = –x2 · n + 1 sind alle Potenzfunktionen mit ungerader Hochzahl ungerade. a) x y – – y = x – · x + f b) x y – – – – – – – f y = · x – · x c) x y – – – – – – – f y = x +
RkJQdWJsaXNoZXIy NjMwNzc=