22 I Differenzialrechnung Differenzen- und Differenzialquotient Momentangeschwindigkeit A B Linus fährt auf der Autobahn in 45 min von Landeck nach Innsbruck. Die zurückgelegte Entfernung beträgt 73 km. Kann er mit Sicherheit ausschließen, dass er nicht zu schnell unterwegs war? Lösung: Seine durchschnittliche Geschwindigkeit lässt sich mit der nachstehenden Formel berechnen: Geschwindigkeit = zurückgelegter Weg _________________ benötigte Zeit = 73 ____ 0,75 km ___ h ≈ 97,3 km/h Linus hat während seiner Fahrt durchschnittlich 97,3 Kilometer pro Stunde zurückgelegt. Das bedeutet aber nicht, dass er zu jedem Zeitpunkt mit 97,3 km/h gefahren sein muss. Der berechnete Wert gibt die mittlere zurückgelegte Strecke pro Zeiteinheit an. Nach Bearbeitung dieses Kapitels kann ich ▪ den Zusammenhang zwischen Differenzen- und Differenzialquotienten beschreiben und diese sowohl als mittlere oder lokale Änderungsraten als auch als Sekanten-oder Tangentensteigung interpretieren, ▪ den Differenzen- und Differenzialquotienten auf Problemstellungen anwenden, Berechnungen durchführen und die Ergebnisse interpretieren, ▪ den Begriff der Ableitungsfunktion beschreiben, diese grafisch darstellen und deren Verlauf deuten, ▪ mithilfe von Summen- und Faktorregel Potenz- und Polynomfunktionen ableiten. Worum geht's? Meine Ziele Bisher wurden Funktionen im Hinblick auf ihren Funktionswert untersucht. Im Folgenden soll festgestellt werden, wie sich die Änderung ∆x der unabhängigen Variablen x auf die Änderung ∆y des zugehörigen Funktionswerts y auswirkt. Um eine Antwort auf die obige Frage zu geben, muss man die Momentangeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt seiner Fahrt kennen. Man kann diese Momentangeschwindigkeit nur berechnen, indem man die für die Bewegung benötigte Zeit ∆t immer kürzer wählt bzw. den Grenzwert für ∆t gegen Null berechnet. Diesen Vorgang nennt man Differenzieren.
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