24 I Differenzialrechnung b) Stellen Sie die Gleichung der Sekante s auf. Lösung: Die Sekante s mit s(x) = k · x + d verläuft durch die Punkte P(2|1) und Q(6|9). k = ∆y ___ ∆x =9−1 _____ 6 − 2 = 8 __ 4 = 2 Durch Einsetzen der Koordinaten von P erhält man: 1 = 2 · 2 + d d = –3 Gleichung der Sekante: s(x) = 2 · x – 3 c) Berechnen Sie den Steigungswinkel von s. Lösung: Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck. Für den Steigungswinkel α gilt: tan(α) = k α = arctan(2) = 63,43° 1.009 Berechnung der Steigung einer Sekante Die Punkte A und B liegen auf dem Graphen einer Funktion f. Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch die Steigung der Sekante durch A und B. a) f(x) = x2 A(1|f(1)) B(4|f(4)) b) f(x) = x 2 – 4 _____ x + 1 A(1|f(1)) B(3|f(3)) 1.010 Steigungswinkel einer Sekante Die Punkte A und B liegen auf dem Graphen einer Funktion f. Ermitteln Sie den Steigungswinkel der zugehörigen Sekante. a) A(1|2), B(1,5|4) b) A(–1|0), B(2|1,5) c) A(–2|3), B(2|–1) 1.011 Sekantensteigung Ermitteln Sie die Steigung der Sekante durch die Punkte P1 und P2 mit den x-Werten x1 bzw. x2 für die jeweilige Funktion. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f und die zugehörige Sekante. a) f(x) = x2 x 1 = 2 x2 = 3 b) f(x) = 1 __ 2 · x2 – 2 · x x 1 = 0,5 x2 = 1 c) f(x) = √ __ x x1 = 1 x2 = 2 Übungsaufgaben: Sekanten B B C D A B k = tan(α) α = arctan(k) ∆y = 9 – 1 = 8 ∆x = 6 – 2 = 4 α Q(6|9) P(2|1)
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