25 Differenzen- und Differenzialquotient Der Differenzenquotient, die mittlere Änderungsrate Für eine Funktion f mit y = f(x) soll die mittlere Änderungsrate der Funktionswerte in einem Intervall [x0; x1] ermittelt werden. Diese entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte P0(x0|y0) und P1(x1|y1). f y x x = x + ∆x f(x ) x f(x ) P P ∆x = x – x ∆y = f(x ) – f(x ) = = f(x + ∆x) – f(x ) Sekante k = ∆y ___ ∆x = f(x1) − f(x0) __________ x1 − x0 k = f(x0 + ∆x) − f(x0) ______________ ∆x DEFINITION: DIFFERENZENQUOTIENT, MITTLERE ÄNDERUNGSRATE ∆y ___ ∆x = f(x0 + ∆x) – f(x0) ______________ ∆x heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate der Funktion f im Intervall [x0; x0 + ∆x]. Eigenschaften Differenzenquotient, mittlere Änderungsrate Der Differenzenquotient im Intervall [x0; x1] ▪ ist ein Quotient von Differenzen, also ein Bruch, ▪ gibt die mittlere Änderung des Funktionswerts im Intervall [x0; x1] an, ▪ gibt die Steigung der Sekante an, die durch die Kurvenpunkte mit den x-Werten x0 und x1 geht. Beispiel 1.8: Hobbygärtner A B D Eno ist Hobbygärtner und protokolliert die Höhe einer Pflanze zu bestimmten Zeitpunkten. Zeit t in Tagen 0 2 5 7 14 Höhe h(t) in cm 0135 6 a) Zeichnen Sie den Graphen der Wachstumsfunktion näherungsweise durch einen Polygonzug. Lösung: 2 4 6 8 101214 Höhe h(t) in cm 1 2 3 4 5 6 7 Zeit t in Tagen HÖHENWACHSTUM So geht's Ein Polygonzug (Streckenzug) entsteht, in dem man Punkte durch Strecken verbindet.
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