31 Differenzen- und Differenzialquotient 2 Der Differenzialquotient, die lokale Änderungsrate Der Differenzenquotient k = ∆y ___ ∆x = f(x1) – f(x0) __________ x1 – x0 gibt die mittlere Änderungsrate der Funktion f im Intervall [x0; x1] an. Grafisch bedeutet der Differenzenquotient die Steigung der Sekante durch die zwei Punkte P0(x0|f(x0)) und P1(x1|f(x1)) im Intervall [x0; x0 + ∆x]. Um die lokale oder momentane Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle x0 zu erhalten, müssen Sie das Intervall [x0; x1] des Differenzenquotienten verkleinern. Sie lassen „x1 gegen x0 gehen“; x1 → x0 bzw. verkleinern den Abstand ∆x zwischen den Stellen x1 und x0 so, dass „∆x gegen 0 geht“; ∆x → 0. Grafisch bedeutet dies den Übergang von der Sekantensteigung zur Steigung der Tangente an die Funktion. DEFINITION: DIFFERENZIALQUOTIENT Der Grenzwert lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) – f(x0) ______________ ∆x = f’(x0) heißt, falls dieser Grenzwert existiert, ▪ Differenzialquotient oder ▪ lokale Änderungsrate oder ▪ Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 ∈ D. Wenn der Differenzialquotient f’(x0) existiert, heißt die Funktion f differenzierbar an der Stelle x0. Es gibt unterschiedliche Schreibweisen für den Differenzialquotienten. Häufig schreibt man df ___ dx bzw. dy ___ dx . In dieser Schreibweise ersetzt man zum Zeichen des vollzogenen Grenzübergangs im Differenzenquotient den Buchstaben ∆ durch d. Aus der Differenz ∆x wird das Differenzial dx. Aus der Differenz ∆y wird das Differenzial dy. Trotz des Namens Differenzialquotient handelt es sich nicht um einen Quotienten, sondern um einen Grenzwert. Im Buch wird in weiterer Folge die Schreibweise f’(x0) für df ___ dx | x0 verwendet. Eigenschaften des Differenzialquotienten Der Differenzialquotient an der Stelle x0 ▪ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, ▪ gibt die Änderung des Funktionswertes an der Stelle x0 an und ▪ gibt die Steigung der Tangente an dieser Stelle x0 an. f y x x = x + ∆x f(x ) x f(x ) ∆x = x – x Sekante Tangente Der Differenzialquotient df__ dx ist trotz des Namens kein Quotient, sondern ein Grenzwert. Man kann hier nicht durch d kürzen. Schreib- und Sprechweisen für den Differenzialquotienten: f’ sprich: f Strich df ___ dx sprich: df nach dx f’(x0) sprich: f Strich an der Stelle x0 df ___ dx | x = x0 = df ___ dx | x0 sprich: df nach dx an der Stelle x0 y’ sprich: Ypsilon Strich dy ___ dx sprich: dy nach dx dy ___ dx | x = x0 = dy ___ dx | x0 sprich: dy nach dx an der Stelle x0
RkJQdWJsaXNoZXIy NjMwNzc=