36 I Differenzialrechnung Beispiel 1.13 B Berechnen Sie mithilfe des Differenzenquotienten den Differenzialquotienten an f mit f(x) = x 2 __ 4 a) an der Stelle x0 = 2. Lösung: An der Stelle x0 = 2 für das Intervall [2; 2 + ∆x]: ∆y ___ ∆x = f(2 + ∆x) – f(2) _____________ ∆x = = 1 __ 4 · (2 + ∆x)2 – 1 ______________ ∆x = = 1 + ∆x + 1 __ 4 · (∆x)2 – 1 __________________ ∆x = = ∆x · (1 + 1 __ 4 · ∆x) _______________ ∆x = =1+1 __ 4 · ∆x b) an einer beliebigen Stelle x0. Lösung: An einer beliebigen Stelle x0 für ein beliebiges Intervall [x0; x0 + ∆x]: ∆y ___ ∆x = f(x0 + ∆x) – f(x0) _____________ ∆x = = 1 __ 4 · (x0 + ∆x) 2 – 1 __ 4 · x0 2 _________________ ∆x = = 1 __ 4 · x0 2 + 1 __ 2 · x0 · ∆x ______________________________ ∆x + + 1 __ 4 · (∆x)2 – 1 __ 4 · x0 2 ______________________________ ∆x = = ∆x · ( 1 __ 2 · x0 + 1 __ 4 · ∆x) __________________ ∆x = = 1 __ 2 · x0 + 1 __ 4 · ∆x Den Differenzialquotienten erhalten Sie durch den Grenzübergang ∆x → 0 an der Stelle x0 = 2 an der beliebigen Stelle x0 f ’(2) = lim ∆x→0 (1 + 1 __ 4 · ∆x) = 1 f’(x0) = lim ∆x→0 ( 1 __ 2 · x0 + 1 __ 4 · ∆x) = 1 __ 2 · x0 Die Funktion f’ mit f’(x) = 1 __ 2 · x heißt Ableitungsfunktion von f. Ist die Funktion an einer Stelle differenzierbar, so lässt sich die Funktion „in der Nähe“ dieser Stelle durch die Tangente annähern. P y = x t x y – – – – – – – y = x t x y P „in der Nähe“ von P verläuft die Kurve annähernd linear y = x t x y , , , , P BERECHNUNG DES DIFFERENZIALQUOTIENTEN So geht's
RkJQdWJsaXNoZXIy NjMwNzc=