37 Differenzen- und Differenzialquotient DEFINITION: ABLEITUNG EINER FUNKTION ▪ Die (erste) Ableitung einer Funktion f mit y = f(x) ist diejenige Funktion f’, die jeder Stelle ihrer Definitionsmenge den zugehörigen Differenzialquotienten zuordnet. f ’(x) = lim ∆x→0 f(x + ∆x) – f(x) ____________ ∆x ▪ Differenzieren bedeutet umgangssprachlich das Aufsuchen der Ableitung einer Funktion. Die Definitionsmenge der Ableitung muss jeweils ermittelt werden. Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion f an der Stelle x0 ▪ Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x0, wenn der Differenzialquotient f’(x0) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) – f(x0) ______________ ∆x existiert. Zu beachten ist, dass ∆x eine beliebige Nullfolge durchlaufen kann, wobei sich stets derselbe Grenzwert – bei Annäherung von links und von rechts – für f(x0) bzw. f’(x0) ergeben muss. ▪ Die Funktion f ist differenzierbar an der Stelle x0, wenn sie an dieser Stelle x0 stetig ist und an dieser Stelle keinen „Knick“ aufweist. y stetig, di erenzierbar x x f y Pol, nicht di erenzierbar x x f y stetig, nicht di erenzierbar x f x ▪ Ist eine Funktion f an einer Stelle x0 differenzierbar, dann ist sie dort auch stetig. ▪ Ist eine Funktion f an einer Stelle x0 stetig, muss sie dort nicht differenzierbar sein. ▪ Ist eine Funktion f an einer Stelle x0 unstetig, dann ist sie dort auch nicht differenzierbar. 1.024 Berechnung des Differenzialquotienten Berechnen Sie den Differenzialquotienten an der Stelle x0 mithilfe der Definition f’(x0) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) – f(x0) ______________ ∆x . Überprüfen Sie Ihre Rechnung, indem Sie den Graphen der Funktion und die zugehörige Tangente zeichnen. Ermitteln Sie die Ableitungsfunktion. a) f(x) = x2 – 4 x 0 = 1 b) f(x) = 3 · x2 – 2 · x + 1 x 0 = 1 c) f(x) = 1 __ x x0 = –2 Übungsaufgaben: Differenzierbarkeit, Berechnen des Differenzialquotienten B 1 –3 –2 –1 2 3 4 5 1 –1 –2 2 3 4 0 0 x y y = |x – 2| Die Funktion y = |x − 2| ist an der Stelle x = 2 stetig, aber dort nicht differenzierbar.
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