39 Differenzen- und Differenzialquotient Ableitung der Potenzfunktion Beispiel 1.14: Ableitung der quadratischen Funktion B Berechnen Sie die erste Ableitung der quadratischen Funktion f mit f(x) = x2. Lösung: ∆y ___ ∆x = f(x + ∆x) – f(x) _____________ ∆x = = (x + ∆x)2 – x2 ___________ ∆x = x2 + 2 · x · ∆x + (∆x)2 – x2 _____________________ ∆x = ∆x · (2 · x + ∆x) ______________ ∆x = 2 · x + ∆x f ’(x) = lim ∆x→0 (2 · x + ∆x) = 2 · x Ableitungsfunktion: f’(x) = 2 · x oder kurz (x2)’ = 2 · x Beispiel 1.15: Ableitung der kubischen Funktion B Berechnen Sie die erste Ableitung der kubischen Funktion f mit f(x) = x3. Lösung: ∆y ___ ∆x = f(x + ∆x) – f(x) _____________ ∆x = (x + ∆x)3 – x3 ___________ ∆x = = x3 + 3 · x2 · ∆x + 3 · x · (∆x)2 + (∆x)3 – x3 ________________________________ ∆x = = ∆x · (3 · x2 + 3 · x · ∆x + (∆x)2) ________________________ ∆x = 3 · x2 + 3 · x · ∆x + (∆x)2 f ’(x) = lim ∆x→0 (3 · x2 + 3 · x · ∆x + (∆x)2) = 3 · x2 Ableitungsfunktion: f’(x) = 3 · x2 oder (x3)’ = 3 · x2 Setzt man die Berechnungen für höhere Potenzen fort, erhält man: f(x) = x2 f’(x) = 2 · x f(x) = x3 f’(x) = 3 · x2 f(x) = x4 f’(x) = 4 · x3 f(x) = x5 f’(x) = 5 · x4 ⋮ ⋮ f(x) = x27 f’(x) = 27 · x26 Daraus kann man einfach eine allgemeine Ableitungsregel erkennen: f(x) = xn f’(x) = n · xn – 1 ABLEITUNG DER POTENZFUNKTION – POTENZREGEL f(x) = xn f’(x) = n · xn – 1 FAKTORREGEL Ist u eine differenzierbare Funktion und c eine Konstante, dann gilt: f(x) = c · u(x) f’(x) = c · u’(x) mit c ∈ ℝ Ein konstanter Faktor c bleibt beim Differenzieren erhalten. Begründung: f ’(x) = lim ∆x→0 c · u(x + ∆x) – c · u(x) __________________ ∆x = lim ∆x→0 c · (u(x + ∆x) – u(x)) ________________ ∆x = = c · lim ∆x→0 u(x + ∆x) – u(x) ______________ ∆x = c · u’(x) (x2)’ = 2 · x (x3)’ = 3 · x2 (x4)’ = 4 · x3 (x5)’ = 5 · x4 ⋮ (x27)’ = 27 · x26 (xn)’ = n · xn – 1 (c · u(x))’ = c · u’(x)
RkJQdWJsaXNoZXIy NjMwNzc=