41 Differenzen- und Differenzialquotient Beachten Sie: Ein konstanter Summand fällt beim Differenzieren weg. f(x) = u(x) + c c ∈ ℝ f’(x) = u’(x) + 0 = u’(x) Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten. f(x) = c · u(x) c ∈ ℝ f’(x) = c · u’(x) Ableitung einer linearen Funktion x x y k f’ y f k k 1 1 f(x) = k · x + d f’(x) = (k · x + d)’ = k k und d sind konstante, reelle Zahlen Die lineare Funktion y = k · x + d hat an jeder Stelle die Steigung k. Daher ist ihre erste Ableitungsfunktion die konstante Funktion k. Höhere Ableitungen Leitet man die erste Ableitung f’ einer Funktion f nochmals ab, dann heißt die Ableitung dieser Ableitungsfunktion die zweite Ableitung von f nach x. ZWEITE ABLEITUNG EINER FUNKTION Ist die erste Ableitung f’ einer Funktion f differenzierbar, so heißt deren Ableitung f’’ mit f ’’(x) = lim ∆x→0 f’(x + ∆x) – f’(x) _____________ ∆x zweite Ableitung von f. Ist die zweite Ableitung f’’ einer Funktion f differenzierbar, so bezeichnet man deren Ableitung als dritte Ableitung f’’’ von f. Ab der vierten Ableitung verwendet man zur Kennzeichnung anstelle der Striche hochgestellte und eingeklammerte Zahlen f(4), f(5) ... Beispiel 1.19: Ableitungen B Berechnen Sie die ersten vier Ableitungen der Funktion f mit f(x) = x3 + 3 · x2 – 2 · x + 1. Lösung: f(x) = x3 + 3 · x2 – 2 · x + 1 f’(x) = 3 · x2 + 6 · x – 2 f’’(x) = 6 · x + 6 f’’’(x) = 6 f(4)(x) = 0 HÖHERE ABLEITUNG So geht's (3 + x2)’ = 0 + 2 · x = 2 · x (3 · x2)’ = 3 · 2 · x = 6 · x Höhere Ableitungen werden durch wiederholtes Differenzieren berechnet. f’’ sprich: „f zwei Strich“ f Funktion f f’ erste Ableitung von f f’’ zweite Ableitung von f f’’’ dritte Ableitung von f f(4) vierte Ableitung von f ⋮ f(n) n-te Ableitung von f
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