10 I Differenzialrechnung Da die Annäherung an den x-Wert 1 von links und von rechts denselben angenäherten Funktionswert 0,5 ergibt, sagt man, dass der Grenzwert von f an der Stelle x = 1 gleich 0,5 ist. Man schreibt: lim x→1 f(x) = 0,5 Man sagt: Die Funktion f hat an der Stelle x = 1 eine Lücke. b) Untersuchen Sie das Verhalten von f an der Stelle x = –1. Lösung: An der Stelle x = –1 „springt“ die Funktion, die Funktionswerte links und rechts von x = –1 streben gegen unendlich. Der Funktionswert an dieser Stelle kann nicht berechnet werden, da f(–1) = 2 __ 0 . Man kann sich aber von links und von rechts an den Wert x = –1 annähern und untersuchen, wie sich die Funktionswerte in der Nähe von x = –1 verhalten. Annäherung an x = –1 von links: Annäherung an x = –1 von rechts: x f(x) x f(x) –1,1 11 –0,9 –9 –1,001 1 001 –0,999 –999 –1,000 01 100 001 –0,999 99 –99 999 … … … … x → –1– f(x) → +∞ x → –1+ f(x) → –∞ Nähert man sich dem x-Wert –1 von links, so nähert sich der Funktionswert +∞. Nähert man sich dem x-Wert –1 von rechts, so nähert sich der Funktionswert –∞. An der Stelle x = –1 hat die Funktion keinen Grenzwert in den reellen Zahlen. Man schreibt: lim x→–1 f(x) = ±∞ Man sagt: Die Funktion f hat an der Stelle x = –1 eine Polstelle. DEFINITION: GRENZWERT EINER FUNKTION g heißt Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0, wenn für alle Folgen von x-Werten, die gegen x0 streben, die Folgen der zugehörigen Funktionswerte f(x) gegen denselben Grenzwert g streben. lim x→x0 f(x) = g oder lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) = g y x f x – Δx →x ← x + Δx f(x + Δx) f(x – Δx) g Man sagt: Der Limes von f(x) für x gegen 1 strebt gegen 0,5. Wenn Sie x = –1 und x = 1 in den Funktionsterm einsetzen, erhalten Sie eine Division durch null: f(–1) = 2 __ 0 ; f(1) = 0 __ 0 Die Funktion f ist an diesen beiden Stellen nicht definiert. ∞ ist ein Begriff, aber keine reele Zahl. Limes: lateinisch für Grenze Anschaulich ist g der Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0, wenn alle Funktionswerte f(x0 + ∆x) in der Nähe von g liegen, sobald die Werte x0 + ∆x in der Nähe von x0 liegen. ∆ (Delta): griechischer Großbuchstabe für D (steht für Differenz) Das Symbol ∆x (sprich: „delta x“) steht für die Differenz oder Änderung von Werten auf der x-Achse.
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