11 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen POLSTELLEN UND LÜCKEN VON RATIONALEN FUNKTIONEN Ist x0 eine Stelle, an der die Funktion f nicht definiert ist, dann heißt x0 … Lücke Polstelle y x g f(x +∆x) x x +∆x f y x x x +∆x f f(x –∆x) x –∆x x –∆x Asymptote y x g f(x +∆x) x x +∆x f y x x x +∆x f f(x –∆x) x –∆x – Asymptote Falls gilt: Der Grenzwert existiert, er ist eine reelle Zahl g, d. h. lim x→x0 f(x) = g bzw. lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) = g Der Grenzwert existiert nicht in ℝ, er ist keine reelle Zahl, die Funktion strebt gegen unendlich, d. h. lim x→x0 f(x) = ± ∞ bzw. lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) = ± ∞ Für die Berechnung von Grenzwerten von zusammengesetzten Funktionen gelten folgende Rechenregeln. Rechenregeln U, V, x0, k ∈ ℝ lim x→x0 u(x) = U lim x→x0 v(x) = V lim x→x0 (u(x) ± v(x)) = lim x→x0 u(x) ± lim x→x0 v(x) = U ± V lim x→x0 (u(x) · v(x)) = lim x→x0 u(x) · lim x→x0 v(x) = U · V lim x→x0 (k · v(x)) = k · lim x→x0 v(x) = k · V lim x→x0 ( u(x) ____ v(x) ) = lim x→x0 u(x) _______ lim x→x0 v(x) = U __ V mit V ≠ 0 Weiters gilt: lim x→x0 (u(v(x))n = ( lim x→x0 u(x))n = Un mit n ∈ ℕ lim x→x0 eu(x) = e lim x→x0 u(x) = eU Die Reihenfolge von Grenzwertbildung und Funktionsbildung kann vertauscht werden. Grenzwertesätze kompakt: lim x→x0 u(x) = U lim x→x0 v(x) = V lim x→x0 (u(x) ± v(x)) = U ± V lim x→x0 (u(x) · v(x)) = U · V lim x→x0 (k · v(x)) = k · V lim x→x0 ( u(x) ____ v(x) ) = U __ V mitV≠0 Eine Polstelle ist eine besondere Variante einer Definitionslücke einer Funktion f. In der Nähe einer Polstelle streben die Funktionswerte von f gegen unendlich und die Funktion hat an dieser Stelle eine vertikale Asymptote.
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