56 II Eigenschaften von Polynomfunktionen Beispiel 2.1: Art des Extremums ablesen C Lesen Sie aus dem gegebenen Graphen der Funktion f in der Randspalte ab, welche Extrema im Intervall [x0; x4] vorliegen. Lösung: x0 Randstelle: H1(x0|f(x0)) ist weder ein lokaler noch ein absoluter Hochpunkt. x1 Stelle des lokalen Minimums; lokaler Tiefpunkt T1(x1|f(x1)) x2 Stelle des lokalen Maximums; lokaler Hochpunkt H2(x2|f(x2)) x3 Stelle des absoluten Minimums; absoluter Tiefpunkt T2(x3|f(x3)) x4 Randstelle: Stelle des Randmaximums Stelle des absoluten Maximums; absoluter Hochpunkt H3(x4|f(x4)) Grafisches Differenzieren Wenn von einer (grafisch) gegebenen Funktion der Graph der Ableitungsfunktion gesucht ist, führt folgende Vorgangsweise zum Ziel: Schritt-für-Schritt Grafisches Differenzieren (1. Ableitung) 1 Typ der Ableitungsfunktion Im Falle von Polynomfunktionen ist es sehr einfach und vor allem auch hilfreich, sich über den Typ der Ableitungsfunktion f’ im Klaren zu sein. Beim Ableiten erhält man stets eine um einen Grad niedrigere Polynomfunktion (siehe Randspalte). 2 Extrempunkte von f Die Extrempunkte von f sind die Nullstellen von f’, weil an diesen Stellen f’(x) = 0 gilt. 3 Monotonieverhalten von f Dort, wo f steigt, ist f’ positiv (Graph von f’ liegt oberhalb der x-Achse). Dort, wo f fällt, ist f’ negativ (Graph von f’ liegt unterhalb der x-Achse). 4 Wendepunkte von f Die Wendepunkte von f sind die Extrempunkte von f’, weil an diesen Stellen f’’(x) = 0 gilt. Oft sind nur Skizzen der Ableitungsfunktion gesucht. Dann spielt die y-Skalierung keine Rolle. Andernfalls muss noch Schritt 5 beachtet werden. 5 Mehrere Steigungswerte ablesen Mithilfe von Tangenten und deren Steigungsdreiecken werden die momentanen Steigungen an mehreren Stellen abgelesen. Die Steigungswerte entsprechen den y-Koordinaten der entsprechenden Punkte der Ableitungsfunktion. ABSOLUTE UND LOKALE EXTREMA So geht's Ableiten von Polynomfunktionen: 1 x y 3 0 3 4 1 2 4 1 2 –1 –1 –2 H T W x y 3 0 3 4 1 2 4 2 –1 –1 –2 x y 3 0 3 4 1 2 4 1 2 –1 –1 –2 y = x 3 – 2 · x2 + 3 · x 3 y’ = x2 – 4 · x + 3 y’’ = 2 · x – 4 Polynomfunktion 3. Grades = kubische Funktion („s-förmig“) ableiten 1 x y 3 0 3 4 1 2 4 1 2 –1 –1 –2 H T W x y 3 0 3 4 1 2 4 2 –1 –1 –2 x y 3 0 3 4 1 2 4 1 2 –1 –1 –2 y = x 3 – 2 · x2 + 3 · x 3 y’ = x2 – 4 · x + 3 y’’ = 2 · x – 4 Polynomfunktion 2. Grades = quadratische Funktion („u-förmig“) ableiten 1 x y 3 0 3 4 1 2 4 1 2 –1 –1 –2 H T W x y 3 0 3 4 1 2 4 2 –1 –1 –2 x y 3 0 3 4 1 2 4 1 2 –1 –1 –2 y = x 3 – 2 · x2 + 3 · x 3 y’ = x2 – 4 · x + 3 y’’ = 2 · x – 4 Polynomfunktion 1. Grades = lineare Funktion (Gerade) ableiten Polynomfunktion 0. Grades = konstante Funktion (waagrechte Gerade) ableiten Nullfunktion (Gerade auf der x-Achse) x x x x x x y I H H T T H f
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