57 Eigenschaften von Polynomfunktionen Beispiel 2.2: Grafisches Differenzieren einer Parabel A D a) Zeichnen Sie die 1. Ableitungsfunktion von f(x) = x 2 __ 4 . Lösung: 1 Die Ableitungsfunktion einer quadratischen Funktion ist linear. 2 An der Stelle x = 0 liegt der Extrempunkt von f. An dieser Stelle liegt die Nullstelle von f’. 3 Für x > 0 ist f steigend. Dort liegt der Graph von f’ also oberhalb der x-Achse. 4 f hat keinen Wendepunkt. f’ hat also keinen Extrempunkt. 5 An den Stellen x = –4, –2, 2, 4 wird beispielsweise der Steigungswert von f ermittelt. Dieser entspricht jeweils der y-Koordinate von f’. (siehe Abbildung in der Randspalte) b) Überprüfen Sie ihr Ergebnis mit der berechneten Ableitungsfunktion. Lösung: f’(x) = 2 · x ____ 4 = x __ 2 = 1 __ 2 · x Der Graph der 1. Ableitungsfunktion entspricht einer Gerade mit k = 1 __ 2 und d = 0. Damit stimmen grafische und rechnerische Lösung überein. 2.001 Absolute und relative/lokale Extrema 2.002 Änderungsraten und Tangenten a) Lesen Sie jene Stellen ab, an denen die Steigung der Tangente null ist. b) Lesen Sie jene Stelle ab, an denen die Steigung der Tangente minimal ist. c) Markieren Sie mit Farbe jene Bereiche auf der x-Achse, in denen der Funktionsgraph steigt. M arkieren Sie mit einer anderen Farbe jenen Bereich auf der x-Achse, in dem der Funktionsgraph fällt. d) Markieren Sie mit Farbe jenen Bereich auf der x-Achse, in dem die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen zunimmt. M arkieren Sie mit einer anderen Farbe jenen Bereich auf der x-Achse, in dem die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen kleiner wird. GRAFISCHES DIFFERENZIEREN So geht's Übungsaufgaben: Grafische Kurvendiskussion – Monotonie C a) y x –3 –2 –1 2 3 4 –2 –4 4 2 1 f b) y x –3 –2 –1 2 3 4 –1 3 2 1 1 f Lesen Sie alle Extrema von f ab und geben Sie die Art des Extremums an. C y x 2 3 –1 6 2 1 f 4 –1 x y 5 3 0 3 4 1 2 4 1 2 –1 –5 –4 –3 –2 5 6 –1 k = 1 k = 2 k = –1 k = –2 x y 5 3 0 1 2 4 1 2 –1 –3 –5 –1 –2 –3 y = x2 4 k=1 k=2 k = –1 k = –2 y' = x 2 –2 –4
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