13 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen c) Kontrollieren Sie Ihre Berechnungen mithilfe der Technologie: Lösung: GeoGebra: GeoGebra berechnet den gesuchten Grenzwert im Algebra- und im CAS-Fenster mit dem Befehl Grenzwert(Ausdruck, Wert). TI-Nspire: Drücken Sie t und wählen Sie den Limes. Häufig ist das Verhalten von Funktionen für sehr große x-Werte, also im Unendlichen von Interesse. Um dieses beschreiben zu können, ist es oft hilfreich, das Verhalten von f(x) = 1 __ xund f(x) = ex für x→∞ zu kennen. Verhalten von Funktionen für x→∞ Der Grenzwert eine reelle Zahl. Der Grenzwert existiert nicht. –5 y x f 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 0 –10 –4 –3 –2 –1 –2 –4 –6 –8 –5 y x f 1 2 3 4 5 10 12 14 16 18 8 –4 –3 –2 –1 6 4 2 0 –2 Der Graph von f(x) = 1 __ xnähert sich für größer werdende x immer mehr dem Wert 0: lim x→∞ 1 __ x = 0 Der Grenzwert eine reelle Zahl. Der Graph von f(x) = ex verläuft für größer werdende x ins Unendliche. lim x→∞ ex = ∞ Der Grenzwert existiert nicht. Beispiel 1.3: Verhalten im Unendlichen B C Beschreiben Sie das Verhalten der Funktionen für x→∞. a) f(x) = e–x Lösung: f(x) = e−x = 1 __ ex Für x → ∞ wird ex immer größer. Damit wird der Nenner des Bruchs immer größer und 1 __ ex nähert sich für x→∞ dem Wert 0. (Vergleichen Sie lim x→∞ 1 __ x = 0.) GRENZWERT VON EXPONENTIALFUNKTIONEN So geht's Für den Fall, dass die unabhängige Variable x über alle Grenzen wächst (d. h. x→∞), gelten die Grenzwertsätze in analoger Form wie für x→x0. 0 2 4 6 1 2 3 x f(x) 7 4 f lim x→∞ 1 __ x= 0; lim x→∞ ex = ∞
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