12 I Differenzialrechnung Beispiel 1.2: Grenzwert von Funktionen A B a) Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 − 9 _____ x − 3 . x y – – – – – – – f Berechnen Sie den Grenzwert an der Stelle x0 = 3. Lösung: Ersetzen Sie x durch (3 + ∆x) und bilden Sie den Grenzwert für ∆x→0. lim x→3 x 2 – 9 _____ x – 3 = lim ∆x→0 f(3 + ∆x) = lim ∆x→0 (3 + ∆x)2 – 9 ___________ (3 + ∆x) – 3 = lim ∆x→0 9 + 6 · ∆x + ∆x 2 – 9 ___________ 3 + ∆x – 3 = = lim ∆x→0 ∆x · (6 + ∆x) ___________ ∆x = lim ∆x→0 (6 + ∆x) = 6 + 0 = 6 Die Funktion f ist an der Stelle 3 nicht definiert, aber es existiert der Grenzwert der Funktion. An der Stelle x0 = 3 liegt eine Lücke vor. b) Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = x + 3 _______ (x − 2)2 . y x – f – – – – – – Berechnen Sie den Grenzwert an der Stelle x0 = 2. Lösung: Ersetzen Sie x durch (2 + ∆x) und bilden Sie den Grenzwert für ∆x→0. lim x→2 x+3 _____ (x – 2)2 = lim ∆x→0 2 + ∆x + 3 ___________ (2 + ∆x – 2)2 = lim ∆x→0 5 + ∆x ___________ (∆x)2 = lim ∆x→0 ( 5 _____ (∆x)2 + 1 ___ ∆x ) = ∞ Da lim ∆x→0 ( 5 _____ (∆x)2 + 1 ___ ∆x ) nicht existiert, hat die Funktion f an der Stelle 2 keinen Grenzwert. An der Stelle x0 = 2 liegt eine Polstelle vor. GRENZWERT So geht's Das Kürzen durch ∆x ist möglich, da vor dem Grenzübergang alle ∆x ≠ 0 sind. Ersetzen Sie x durch x0 + ∆x und berechnen Sie den Grenzwert für ∆x→0. lim x→x0 f(x) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) = g lim ∆x→0 1 ___ ∆x = ∞ Für gegen 0 strebende ∆x wird der Quotient immer größer.
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