219 Beschreibende Statistik Beispiel 7.9: Mittlere Haushaltsgröße 2 (Forts. von Beispiel 7.4) B Die Tabelle (siehe Randspalte) gibt die Haushaltsgröße der 20 Haushalte in einem Wohnblock an. Berechnen Sie die mittlere Haushaltsgröße mit absoluten Häufigkeiten. Berechnen Sie die mittlere Haushaltsgröße mit relativen Häufigkeiten. Lösung: _ x=1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+4+4+4+5+6+6+7 __________________________________________________________ 20 _ x=1·2+2·6+3·5+4·3+5·1+6·2+7·1 ______________________________________ 20 = 65 ___ 20 = 3,25 _ x= 1 · 2 ___ 20 +2·6 ___ 20 +3·5 ___ 20 +4·3 ___ 20 +5·1 ___ 20 +6·2 ___ 20 +7·1 ___ 20 _ x=1·0,1+2·0,3+3·0,25+4·0,15+5·0,05+6·0,1+7·0,05=3,25 2 2 3 1 1 6 5 Aus diesen Überlegungen ergeben sich folgende Formeln für das arithmetische Mittel: Gegebene Häufigkeitsverteilung Formel für das arithmetische Mittel Hi gegeben _ x = x1 · H1 + x2 · H2 + ... + xk · Hk ________________________ n = 1 __ n · ∑ i = 1 k xi · Hi hi gegeben _ x = x1 · h1 + x2 · h2 + ... + xk · hk = ∑ i = 1 k xi · hi Beispiel 7.10: Schmerzstillendes Medikament B Ein schmerzstillendes Medikament wird in Packungen zu 10, 20, 30 und 40 Tabletten pro Packung verkauft. Die Häufigkeitstabelle für 100 verkaufte Packungen ist in der Randspalte gegeben. Ermitteln Sie, wie viele Tabletten im Durchschnitt pro Packung verkauft wurden. Lösung: Die Häufigkeitstabelle für 100 verkaufte Packungen wird zunächst mit Spalten für hi, xi · hi und xi · Hi ergänzt. Mithilfe der Spaltensummen erhalten Sie den gesuchten Mittelwert. i xi Hi hi xi · hi xi · Hi 1 2 3 4 10 20 30 40 4 37 40 19 0,04 0,37 0,40 0,19 0,4 7,4 12,0 7,6 40 740 1 200 760 Summe 100 1,00 _ x = 27,4 2 740 _ x= 2 740 : 100 = 27,4 In den 100 Packungen wurden insgesamt 2 740 Tabletten verkauft. Damit wurden pro Packung im Mittel 27,4 Tabletten verkauft. ∑ i = 1 k xi · hi ∑ i = 1 k xi · Hi 1 __ n · ∑ i = 1 k xi · Hi ARITHMETISCHES MITTEL So geht's GEWOGENES ARITHMETISCHES MITTEL So geht's i xi Hi hi 1 1 2 0,1 2 2 6 0,3 3 3 5 0,25 4 4 3 0,15 5 5 1 0,05 6 6 2 0,1 7 7 1 0,05 Summe 20 1 Stabdiagramm für hi: Haushaltsgröße xi hi 5 3 0 0,12 0,16 0,04 0,08 6 4 1 2 7 0,2 0,28 0,32 0,24 0,36 0,4 arithmetisches Mittel Zwei gleichwertige Möglichkeiten der Berechnung des arithmetischen Mittels: ▪ Alle Werte xi werden einzeln addiert und ▪ gleiche Werte werden über ihre absoluten oder relativen Häufigkeiten zusammengefasst. k ⩽ n Für k = n entspricht das gewogene arithmetische Mittel dem einfachen arithmetischen Mittel. i xi Hi 1 2 3 4 10 20 30 40 4 37 40 19 Summe 100
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