220 VII Beschreibende Statistik Eigenschaften des arithmetischen Mittels ▪ Geometrisch interpretiert liegt das arithmetische Mittel auf der lotrechten Schwerlinie im zugehörigen Stab-/Säulendiagramm oder auf der lotrechten Schwerlinie der vom Polygonzug begrenzten Fläche. ▪ Die Summe der Abweichungen der Merkmalwerte xi von ihrem arithmetischen Mittel _ xist null: ∑ i = 1 k (xi – _ x ) = 0 ▪ Das n-Fache des arithmetischen Mittels ergibt die Summe der Stichprobenwerte: n · _ x = ∑ i = 1 k xi ▪ Extrem abweichende Daten (Ausreißer) beeinflussen das arithmetische Mittel erheblich. Im Falle von Ausreißern kann es vorkommen, dass das arithmetische Mittel die gegebenen Daten nicht mehr geeignet repräsentiert. 3.2 Median Beispiel 7.11: Fünf Landwirte – mittlere Zahl der Kühe B C In einer kleinen Ortschaft leben neun Landwirte. Acht von diesen Landwirten haben je zwei Kühe, der neunte aber hat 236 Kühe im Stall. a) Berechnen Sie den Mittelwert der Anzahl der Kühe pro Bauer. Argumentieren Sie, ob dieses arithmetische Mittel repräsentativ für den Viehbestand in der Ortschaft ist. Lösung: _ x=2+2+2+2+2+2+2+2+236 ____________________________ 9 = 28 Im Durchschnitt hat jeder der neun Landwirte 28 Kühe im Stall. Dieser Wert gibt aber keineswegs die Verteilung des Viehbestandes wieder. b) Eine weitere Möglichkeit, einen „Mittelwert“ zu berechnen, ist, die der Größe nach geordnete Anzahl der Kühe pro Landwirt aufzuschreiben und daraus den Wert in der Mitte zu nehmen. Argumentieren Sie, ob dieses neue Zentralmaß die Verteilung des Viehbestandes besser beschreibt als das arithmetische Mittel. Lösung: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 236 Dieser Wert in der Mitte ist 2 und heißt Median. Er repräsentiert die Verteilung dieses Viehbestandes besser als das arithmetische Mittel. DEFINITION: MEDIAN Der Median einer der Größe nach geordneten Datenreihe ist ▪ bei ungerader Anzahl der Daten der Wert in der Mitte, ▪ bei gerader Anzahl der Daten das arithmetische Mittel der beiden Werte in der Mitte. MEDIAN So geht's Der Mittelwert einer Datenreihe hat dieselbe physikalische Einheit wie die Einzeldaten dieser Datenreihe. 6 4 (–1) (–2) (+3) 7 5 3 2 1 x Datenreihe: 2, 3, 7 n = 3, _ x = 4 Ein Ausreißer – der Großbauer mit den 236 Kühen – dominiert die durchschnittliche Anzahl _ xder Kühe. medius: lateinisch für der Mittlere, mitten, in der Mitte
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