224 VII Beschreibende Statistik b) Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich der Umsatz in diesen vier Jahren insgesamt verändert hat. Lösung: Aus U2026 = U2022 · 1,154 folgt, dass sich der Umsatz um 15,4 % erhöht hat. c) Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich der Umsatz in diesen vier Jahren durchschnittlich pro Jahr verändert hat. Lösung: U2026 = U2022 · 1,154 = U2022 · (1 + i) 4 1,154 = (1 + i)4 4 √ _____ 1,154= 1 + i ≈ 1,036 45 In jedem dieser vier Jahre betrug die durchschnittliche prozentuelle Änderung ca. 3,645 %. Alternative Berechnung: 1 + i = 4 √ _________________ 1,06 · 0,96 · 1,05 · 1,08≈ 1,036 45 Achtung: Die falsche Berechnung mittels arithmetischem Mittel ergibt zum Vergleich: _ x=6−4+5+8 ___________ 4 = 3,75 also 3,75 % > 3,645 % Diese Überlegungen führen auf die folgende Definition: DEFINITION: GEOMETRISCHES MITTEL Das geometrische Mittel einer Datenreihe für n positive Werte xi ist: xgeo = n √ _____________ x 1 · x2 · x3 · ... · xn Eigenschaften des geometrischen Mittels ▪ Das geometrische Mittel ist nur für positive Werte definiert. ▪ Die Werte xi sind meist Zunahme- oder Abnahmefaktoren. ▪ Das geometrische Mittel ist kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel. Beispiel 7.17: Gewinn eines Betriebes B D Der Gewinn eines Betriebes war in den vergangenen Jahren stark schwankend. Die folgende Tabelle gibt die prozentuelle Veränderung des Unternehmensgewinns bezüglich des jeweiligen Vorjahrs an. Jahr 2020 2021 2022 2023 Änderung +3% –11% –3% +11% a) Der CEO des Betriebes behauptet, dass der Betrieb während des gesamten Beobachtungszeitraums keinen Gewinn, aber auch keinen Verlust gemacht hat. Er spricht von einer mittleren prozentuellen Änderung des Gewinns pro Jahr von 0 %. Erklären Sie, welchen Fehler der CEO in seiner Überlegung aus mathematischer Sicht gemacht hat. GEOMETRISCHES MITTEL So geht's Vergleichen Sie das geometrische Mittel mit dem durchschnittlichen Zinssatz aus dem Bereich der Finanzmathematik. Die Werte x1, x2, …, xn sind meist Wachstumsfaktoren. x1 = 1 + i1 mit xi > 0 x2 = 1 + i2 ⋮ xn = 1 + in
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