I Differenzialrechnung Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen/ Seite 8 Differenzen- und Differenzialquotient/ Seite 22 Sie finden Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion in einem bestimmten Punkt berührt. Der Differenzialquotient ist ein Grenzwert.
8 I Differenzialrechnung Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Kostenanalyse für ein Produkt D Die Gesamtkosten für die Herstellung eines Produkts können durch die Funktion K beschrieben werden: K(x) = 0,1 · x2 + x + 10 x produzierte Menge in ME, x ⩾ 0 K(x) Kosten in GE bei Produktion von x ME Die durchschnittlichen Kosten können durch die Funktion _ Kbeschrieben werden: _ K(x) = K(x) ____ x = 0,1 · x2 + x + 10 _____________ x = 0,1 · x + 1 + 10 ___ x Beschreiben Sie das Verhalten der Funktion _ K, wenn x von rechts gegen den Wert 0 strebt (x → 0+). Lösung: Der Funktionswert von _ Kan der Stelle x = 0 kann nicht direkt berechnet werden. Denn _ K(x) = 0,1 · 0 + 1 + 10 ___ 0 = 1 + 10 ___ 0 führt auf eine Division durch null. Man kann sich aber an den x-Wert 0 von rechts (x → 0+) annähern und abschätzen, was mit dem Funktionswert an der Stelle 0 geschieht. Nähert sich der x-Wert von rechts dem Wert 0, so strebt der Funktionswert gegen +∞. An der Stelle x = 0 liegt eine Polstelle vor. An dieser Stelle ist der Funktionswert nicht definiert. Nach Bearbeitung dieses Kapitels kann ich ▪ den Begriff Grenzwert von Funktionen intuitiv erfassen und damit argumentieren, ▪ den Begriff der Stetigkeit von Funktionen erklären und damit argumentieren, ▪ die Symmetrie von Funktionsgraphen beschreiben. Worum geht's? Meine Ziele 0 2 4 6 2 4 6 x _ K(x) 8 10 8 10 _ K Negative x-Werte sind aus ökonomischer Sicht nicht sinnvoll. x _ K(x) 1 11,1 0,1 101,01 0,01 1 001,001 … … x → 0+ _ K (x) → +∞ ∞ Symbol für unendlich infinis: lateinisch für ohne Ende, endlos, unendlich
9 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 1 Grenzwert In den letzten Schuljahren haben Sie bereits einige Funktionstypen und deren Eigenschaften kennengelernt. In diesem Kapitel wird das Verhalten von Funktionen an Definitionslücken und für unendlich große x-Werte beschrieben. Beispiel 1.1: Verhalten an Definitionslücken B D Die Funktion f(x) = x 2 − x _____ x2 − 1 ist an den Stellen x = 1 und x = –1 nicht definiert, ihre Definitionsmenge D ist ℝ \ {–1, 1}. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph von f dargestellt. y x 0 3 4 1 2 –2 –1 –4 –3 f 2 3 4 1 0,58 0,56 0,54 0,52 0,5 0,48 0,46 0,44 0,94 0,96 0,98 1 1,02 1,04 1,06 1,08 –1 –2 –3 –4 x f(x) –3,5 1,4 –3 1,5 –2,5 1,666 67 –2 2 –1,5 3 –1 undef –0,5 –1 0 0 0,5 0,333 33 1 undef 1,5 0,6 2 0,666 67 2,5 0,714 29 3 0,75 Das Verhalten der Funktion an der Stelle x = –1 unterscheidet sich wesentlich vom Verhalten an der Stelle x = 1. a) Untersuchen Sie das Verhalten von f an der Stelle x = 1. Lösung: An der Stelle x = 1 liegt eine Lücke vor. Der Funktionswert an dieser Stelle kann nicht berechnet werden, da f(1) = 0 __ 0 . Man kann sich aber von links und von rechts an den Wert x = 1 annähern und untersuchen, wie sich die Funktionswerte in der Nähe von x = 1 verhalten. Annäherung an x = 1 von links: Annäherung an x = 1 von rechts: x f(x) x f(x) 0,9 0,4737 1,1 0,524 0,999 0,4998 1,001 0,500 25 0,999 99 0,499 998 1,000 01 0,500 0025 … … … … x → 1– f(x) → 0,5 x → 1+ f(x) → 0,5 Nähert man sich dem x-Wert 1 von links, so nähert sich der Funktionswert 0,5. Nähert man sich dem x-Wert 1 von rechts, so nähert sich der Funktionswert 0,5. GRENZWERT So geht's Annäherung von links Annäherung von rechts 0,9 1,1 1 Wenn Sie x = –1 und x = 1 in den Funktionsterm einsetzen, erhalten Sie eine Division durch null: f(–1) = 2 __ 0 ; f(1) = 0 __ 0 Die Funktion f ist an diesen beiden Stellen nicht definiert. Sprechweise: x → x0 „x strebt gegen x0“ x → x0 – „x strebt von links gegen x0“ x → x0 + „x strebt von rechts gegen x0“ x → ∞ „x strebt gegen unendlich“
10 I Differenzialrechnung Da die Annäherung an den x-Wert 1 von links und von rechts denselben angenäherten Funktionswert 0,5 ergibt, sagt man, dass der Grenzwert von f an der Stelle x = 1 gleich 0,5 ist. Man schreibt: lim x→1 f(x) = 0,5 Man sagt: Die Funktion f hat an der Stelle x = 1 eine Lücke. b) Untersuchen Sie das Verhalten von f an der Stelle x = –1. Lösung: An der Stelle x = –1 „springt“ die Funktion, die Funktionswerte links und rechts von x = –1 streben gegen unendlich. Der Funktionswert an dieser Stelle kann nicht berechnet werden, da f(–1) = 2 __ 0 . Man kann sich aber von links und von rechts an den Wert x = –1 annähern und untersuchen, wie sich die Funktionswerte in der Nähe von x = –1 verhalten. Annäherung an x = –1 von links: Annäherung an x = –1 von rechts: x f(x) x f(x) –1,1 11 –0,9 –9 –1,001 1 001 –0,999 –999 –1,000 01 100 001 –0,999 99 –99 999 … … … … x → –1– f(x) → +∞ x → –1+ f(x) → –∞ Nähert man sich dem x-Wert –1 von links, so nähert sich der Funktionswert +∞. Nähert man sich dem x-Wert –1 von rechts, so nähert sich der Funktionswert –∞. An der Stelle x = –1 hat die Funktion keinen Grenzwert in den reellen Zahlen. Man schreibt: lim x→–1 f(x) = ±∞ Man sagt: Die Funktion f hat an der Stelle x = –1 eine Polstelle. DEFINITION: GRENZWERT EINER FUNKTION g heißt Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0, wenn für alle Folgen von x-Werten, die gegen x0 streben, die Folgen der zugehörigen Funktionswerte f(x) gegen denselben Grenzwert g streben. lim x→x0 f(x) = g oder lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) = g y x f x – Δx →x ← x + Δx f(x + Δx) f(x – Δx) g Man sagt: Der Limes von f(x) für x gegen 1 strebt gegen 0,5. Wenn Sie x = –1 und x = 1 in den Funktionsterm einsetzen, erhalten Sie eine Division durch null: f(–1) = 2 __ 0 ; f(1) = 0 __ 0 Die Funktion f ist an diesen beiden Stellen nicht definiert. ∞ ist ein Begriff, aber keine reele Zahl. Limes: lateinisch für Grenze Anschaulich ist g der Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0, wenn alle Funktionswerte f(x0 + ∆x) in der Nähe von g liegen, sobald die Werte x0 + ∆x in der Nähe von x0 liegen. ∆ (Delta): griechischer Großbuchstabe für D (steht für Differenz) Das Symbol ∆x (sprich: „delta x“) steht für die Differenz oder Änderung von Werten auf der x-Achse.
11 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen POLSTELLEN UND LÜCKEN VON RATIONALEN FUNKTIONEN Ist x0 eine Stelle, an der die Funktion f nicht definiert ist, dann heißt x0 … Lücke Polstelle y x g f(x +∆x) x x +∆x f y x x x +∆x f f(x –∆x) x –∆x x –∆x Asymptote y x g f(x +∆x) x x +∆x f y x x x +∆x f f(x –∆x) x –∆x – Asymptote Falls gilt: Der Grenzwert existiert, er ist eine reelle Zahl g, d. h. lim x→x0 f(x) = g bzw. lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) = g Der Grenzwert existiert nicht in ℝ, er ist keine reelle Zahl, die Funktion strebt gegen unendlich, d. h. lim x→x0 f(x) = ± ∞ bzw. lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) = ± ∞ Für die Berechnung von Grenzwerten von zusammengesetzten Funktionen gelten folgende Rechenregeln. Rechenregeln U, V, x0, k ∈ ℝ lim x→x0 u(x) = U lim x→x0 v(x) = V lim x→x0 (u(x) ± v(x)) = lim x→x0 u(x) ± lim x→x0 v(x) = U ± V lim x→x0 (u(x) · v(x)) = lim x→x0 u(x) · lim x→x0 v(x) = U · V lim x→x0 (k · v(x)) = k · lim x→x0 v(x) = k · V lim x→x0 ( u(x) ____ v(x) ) = lim x→x0 u(x) _______ lim x→x0 v(x) = U __ V mit V ≠ 0 Weiters gilt: lim x→x0 (u(v(x))n = ( lim x→x0 u(x))n = Un mit n ∈ ℕ lim x→x0 eu(x) = e lim x→x0 u(x) = eU Die Reihenfolge von Grenzwertbildung und Funktionsbildung kann vertauscht werden. Grenzwertesätze kompakt: lim x→x0 u(x) = U lim x→x0 v(x) = V lim x→x0 (u(x) ± v(x)) = U ± V lim x→x0 (u(x) · v(x)) = U · V lim x→x0 (k · v(x)) = k · V lim x→x0 ( u(x) ____ v(x) ) = U __ V mitV≠0 Eine Polstelle ist eine besondere Variante einer Definitionslücke einer Funktion f. In der Nähe einer Polstelle streben die Funktionswerte von f gegen unendlich und die Funktion hat an dieser Stelle eine vertikale Asymptote.
12 I Differenzialrechnung Beispiel 1.2: Grenzwert von Funktionen A B a) Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 − 9 _____ x − 3 . x y – – – – – – – f Berechnen Sie den Grenzwert an der Stelle x0 = 3. Lösung: Ersetzen Sie x durch (3 + ∆x) und bilden Sie den Grenzwert für ∆x→0. lim x→3 x 2 – 9 _____ x – 3 = lim ∆x→0 f(3 + ∆x) = lim ∆x→0 (3 + ∆x)2 – 9 ___________ (3 + ∆x) – 3 = lim ∆x→0 9 + 6 · ∆x + ∆x 2 – 9 ___________ 3 + ∆x – 3 = = lim ∆x→0 ∆x · (6 + ∆x) ___________ ∆x = lim ∆x→0 (6 + ∆x) = 6 + 0 = 6 Die Funktion f ist an der Stelle 3 nicht definiert, aber es existiert der Grenzwert der Funktion. An der Stelle x0 = 3 liegt eine Lücke vor. b) Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = x + 3 _______ (x − 2)2 . y x – f – – – – – – Berechnen Sie den Grenzwert an der Stelle x0 = 2. Lösung: Ersetzen Sie x durch (2 + ∆x) und bilden Sie den Grenzwert für ∆x→0. lim x→2 x+3 _____ (x – 2)2 = lim ∆x→0 2 + ∆x + 3 ___________ (2 + ∆x – 2)2 = lim ∆x→0 5 + ∆x ___________ (∆x)2 = lim ∆x→0 ( 5 _____ (∆x)2 + 1 ___ ∆x ) = ∞ Da lim ∆x→0 ( 5 _____ (∆x)2 + 1 ___ ∆x ) nicht existiert, hat die Funktion f an der Stelle 2 keinen Grenzwert. An der Stelle x0 = 2 liegt eine Polstelle vor. GRENZWERT So geht's Das Kürzen durch ∆x ist möglich, da vor dem Grenzübergang alle ∆x ≠ 0 sind. Ersetzen Sie x durch x0 + ∆x und berechnen Sie den Grenzwert für ∆x→0. lim x→x0 f(x) = lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) = g lim ∆x→0 1 ___ ∆x = ∞ Für gegen 0 strebende ∆x wird der Quotient immer größer.
13 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen c) Kontrollieren Sie Ihre Berechnungen mithilfe der Technologie: Lösung: GeoGebra: GeoGebra berechnet den gesuchten Grenzwert im Algebra- und im CAS-Fenster mit dem Befehl Grenzwert(Ausdruck, Wert). TI-Nspire: Drücken Sie t und wählen Sie den Limes. Häufig ist das Verhalten von Funktionen für sehr große x-Werte, also im Unendlichen von Interesse. Um dieses beschreiben zu können, ist es oft hilfreich, das Verhalten von f(x) = 1 __ xund f(x) = ex für x→∞ zu kennen. Verhalten von Funktionen für x→∞ Der Grenzwert eine reelle Zahl. Der Grenzwert existiert nicht. –5 y x f 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 0 –10 –4 –3 –2 –1 –2 –4 –6 –8 –5 y x f 1 2 3 4 5 10 12 14 16 18 8 –4 –3 –2 –1 6 4 2 0 –2 Der Graph von f(x) = 1 __ xnähert sich für größer werdende x immer mehr dem Wert 0: lim x→∞ 1 __ x = 0 Der Grenzwert eine reelle Zahl. Der Graph von f(x) = ex verläuft für größer werdende x ins Unendliche. lim x→∞ ex = ∞ Der Grenzwert existiert nicht. Beispiel 1.3: Verhalten im Unendlichen B C Beschreiben Sie das Verhalten der Funktionen für x→∞. a) f(x) = e–x Lösung: f(x) = e−x = 1 __ ex Für x → ∞ wird ex immer größer. Damit wird der Nenner des Bruchs immer größer und 1 __ ex nähert sich für x→∞ dem Wert 0. (Vergleichen Sie lim x→∞ 1 __ x = 0.) GRENZWERT VON EXPONENTIALFUNKTIONEN So geht's Für den Fall, dass die unabhängige Variable x über alle Grenzen wächst (d. h. x→∞), gelten die Grenzwertsätze in analoger Form wie für x→x0. 0 2 4 6 1 2 3 x f(x) 7 4 f lim x→∞ 1 __ x= 0; lim x→∞ ex = ∞
14 I Differenzialrechnung b) f(x) = 10 000 – 9 500 · e–0,022 · x Lösung: f(x) = 10 000 − 9 500 · e–0,022 · x = 10 000 − 9 500 _______ e0,022 · x Für x→∞ nähert sich 9 500 _______ e0,022 · x dem Wert 0. (Vergleichen Sie lim x→∞ 1 __ ex = 0.) Damit nähert sich die Funktion dem Wert 10 000 – 0 = 10 000. c) f(x) = 200 ____________ 4 + 2 · e–0,27 · x Lösung: Für x→∞ nähert sich e–0,27 · x dem Wert 0. (Vergleichen Sie lim x→∞ 1 __ ex = 0.) Damit nähert sich die Funktion dem Wert 200 _______ 4 + 2 · 0 = 50. 1.001 Polstelle oder Lücke? Stellen Sie die Funktionen grafisch dar und entscheiden Sie, ob an den angegebenen Stellen eine Polstelle oder eine Lücke vorliegt. Ermitteln Sie gegebenenfalls den Grenzwert an der Stelle x0. a) f(x) = x 2 − 9 _____ x − 4 für x0 = 4 b) f(x) = x 2 − 4 _____ x + 2 für x0 = –2 c) f(x) = x 2 − 18 ______ x + 3 für x0 = –3 d) f(x) = x 2 − 5 · x ________ x2 − 25 für x0 = 5 und x0 = –5 1.002 Grenzwertberechnung Berechnen Sie den Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0. Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis mit Technologie. a) f(x) = x 2 __ x ; x0 = 0 b) f(x) = x 2 − 4 _____ x + 2 ; x0 = –2 c) f(x) = x − 3 _____ x2 − 9 ; x0 = 3 d) f(x) = x 2 − 5 · x ________ x2 − 25 ; x0 = 5 e) f(x) = x − 4 ______ x2 − 16 ; für x0 = –4 f) f(x) = x − 3 _____ x2 − 9 ; x0 = –3 1.003 Grenzwertberechnung mit einer Tabelle Ermitteln Sie mithilfe einer geeigneten Tabelle. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit CAS. a) lim x→∞(1 + 1 __ x ) x b) lim x→0+ xx 1.004 Grenzwertberechnung von Exponentialfunktionen Argumentieren Sie, welchem Wert sich der Funktionswert für x→∞ annähert. a) f(x) = e–x b) f(x) = 50 ___________ 1 + 4 · e−0,1 · x c) f(x) = 100 ____________ 4 + 5 · e−0,02 · x d) f(x) = 21 – 20,5 · e–0,2 · x Übungsaufgaben: Grenzwert von Funktionen B C Tipp: Ersetzen Sie x durch x0 + ∆x und berechnen Sie den Grenzwert für ∆x→0. B B Beachten Sie: 00 ist nicht definiert. D 0 5 10 15 10 20 30 x f(x) 20 25 40 50 f 0 100 200 300 2 000 4 000 6 000 x f(x) 400 500 8 000 10 000 f
15 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 2 Stetigkeit Oft werden Messwerte von empirisch ermittelten Datenpaaren in zusammenhängenden Kurven dargestellt. Dabei setzt man voraus, dass üblicherweise Funktionswerte nicht regellos von einem Funktionswert zu einem anderen Wert springen, ohne die Funktionswerte dazwischen anzunehmen. Jede Funktion mit y = f(x), deren Graph ohne Absetzen des Zeichenstiftes gezeichnet werden kann, ist ein Beispiel einer stetigen Funktion. Die Stetigkeit ist ein zentraler Begriff der Analysis und wird hier zunächst anschaulich erklärt. Beispiel 1.4: Stetige und unstetige Funktionen C a) Frau M. unternimmt eine kurze Autofahrt in der Stadt. Anfangs beschleunigt sie das Auto und fährt dann einige Zeit mit fast konstanter Geschwindigkeit. Vor einem Zebrastreifen muss sie das Auto stark abbremsen, danach beschleunigt sie wieder kurz und kommt schließlich ans Ziel. Die Grafik zeigt die Geschwindigkeit des Autos während der Fahrt. Uhrzeit Geschwindigkeit in km/h 30 40 10 20 925 928 931 932 933 50 Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm kann ohne Absetzen gezeichnet werden. b) Das Parken in einer Tiefgarage kostet ▪ für die erste Stunde € 2,20, ▪ für jede weitere halbe Stunde € 1,10 und ▪ maximal pro Tag € 15,00. Stellen Sie den Tarif in Abhängigkeit von der Parkdauer grafisch dar: Der Graph zeigt eine Sprungstelle bei der Parkdauer 1 h und dann nach jeder weiteren halben Stunde bis 6,5 h. Grafische Interpretation der Stetigkeit Man erkennt eine stetige Funktion daran, dass ihr Graph ohne Absetzen gezeichnet werden kann. Die grafische Interpretation der Stetigkeit ist aber zu unpräzise und muss exakter definiert werden. Der Graph einer stetigen Funktion kann ohne Absetzen gezeichnet werden. Die Geschwindigkeitsfunktion ist stetig. Die Tariffunktion ist unstetig.
16 I Differenzialrechnung DEFINITION: STETIGKEIT Eine Funktion f ist stetig an der Stelle x0 ∈ D, wenn ▪ der Grenzwert lim x→x0 f(x) existiert, und ▪ der Grenzwert mit dem Funktionswert an dieser Stelle x0 übereinstimmt. lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) = f(x0) Ist eine der zwei Forderungen der Stetigkeitsdefinition nicht erfüllt, dann ist die Funktion f unstetig an der Stelle x0. DEFINITION: STETIGKEIT IN EINEM INTERVALL Eine Funktion f ist stetig in einem Intervall, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls stetig ist. Beispiel 1.5: Typen stetiger und unstetiger Funktionen C Die Graphen zeigen einige typische Fälle für Stetigkeit und Unstetigkeit einer Funktion f an einer Stelle x0. y x x f y x x f y x x f y x x f y x x f y x f y x f y x x f y x x f y x y x f y x x f y x f y x x f f stetig auf D = ℝ und glatt lim x→x0 f(x) = f(x0) f stetig auf D = ℝ mit Knick lim x→x0 f(x) = f(x0) f stetig auf D = ℝ \ {x0} Lücke an der Stelle x0 lim x→x0 f(x) existiert, f(x0) existiert nicht y x x f y x x f y x x f y x x f y x x f y x x f y x x f y x x f y x f y x x f stetig auf D = ℝ \ {x0} Sprungstelle an der Stelle x0 lim x→x0 f(x) existiert nicht f(x0) existiert stetig auf D = ℝ \ {x0} Pol an der Stelle x0 lim x→x0 f(x) ist keine reelle Zahl f(x0) existiert nicht Von Stetigkeit kann man nur an einer Stelle x0 ∈ D sprechen, an der die Funktion auch definiert ist. Stetig an der Stelle x0 bedeutet: Der Grenzwert der Funktion an der Stelle x0 ist gleich dem Funktionswert an der Stelle x0.
17 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 1.005 Graphen von Funktionen Ergänzen Sie jeweils mithilfe der Grafik die Definitionsmenge der dargestellten Funktion. Kreuzen Sie an, an welchen Stellen x1 bis x6 die Funktion stetig ist. Geben Sie an, ob eine Lücke, eine Polstelle oder eine Sprungstelle vorliegt. a) y x x1 x2 x3 x4 x5 x6 D = ℝ \ { } stetig Lücke/Pol/Sprungstelle x1 x2 x3 x4 x5 x6 b) y x x1 x2 x3 x4 x5 x6 D = ℝ \ { } stetig Lücke/Pol/Sprungstelle x1 x2 x3 x4 x5 x6 c) y x x1 x 2 x3 x4 x 5 x6 D = ℝ \ { } stetig Lücke/Pol/Sprungstelle x1 x2 x3 x4 x5 x6 d) y x x1 x 2 x3 x4 x5 x6 D = ℝ \ { } stetig Lücke/Pol/Sprungstelle x1 x2 x3 x4 x5 x6 1.006 Graphen von stetigen und unstetigen Funktionen Begründen Sie anhand eines Graphen, ob die Funktion stetig ist. Geben Sie Definitionsmenge, Lücken und Polstellen an. a) f(x) = x2 – 4 b) f(x) = x2 – 2 · x + 5 c) f(x) = x 2 – 4 _____ x + 2 d) f(x) = x 2 __ x e) f(x) = 2 · x ____ x – 1 f) f(x) = 4 – x _____ 4 + x Übungsaufgaben: Stetigkeit C D B C D
18 I Differenzialrechnung 3 Symmetrie Bei den Potenzfunktionen haben Sie bereits zwischen Funktionen, die symmetrisch bezüglich der y-Achse (zum Beispiel f(x) = x2) und Funktionen, die symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs sind (zum Beispiel f(x) = x3) unterschieden. Symmetrische Funktionen Gerade Funktion Ungerade Funktion x y 0 f f(x) –x x f(–x) x y 0 f f(x) –x x f(–x) Eine Funktion f heißt gerade, wenn ihr Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse ist, d. h., wenn für alle x ∈ D gilt: f(–x) = f(x) Eine Funktion f heißt ungerade, wenn ihr Graph punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, d. h., wenn für alle x ∈ D gilt: f(–x) = –f(x) Beispiel 1.6 C D Entscheiden Sie, ob die Funktionen gerade oder ungerade sind. a) f(x) = x4 – 2 · x2 + 5 Lösung: f(–x) = (–x)4 – 2 · (–x)2 + 5 = x4 – 2 · x2 + 5 = f(x) Die Funktion f ist eine gerade Funktion. Ihr Graph verläuft symmetrisch bezüglich der y-Achse. b) f(x) = 2 · x5 – 4 · x3 Lösung: f(–x) = 2 · (–x)5 – 4 · (–x)3 = –2 · x5 + 4 · x3 = –(2 · x5 – 4 · x3) = –f(x) Die Funktion f ist eine ungerade Funktion. Ihr Graph verläuft symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. c) f(x) = x3 + 1 Lösung: f(–x) = (–x)3 + 1 = –x3 + 1 Die Funktion f ist weder gerade, da –x3 + 1 ≠ x3 + 1 = f(x) noch ungerade, da –x3 + 1 ≠ –(x3 + 1) = –f(x) GERADE UND UNGERADE FUNKTIONEN So geht's ▪ Wegen (–x)2 · n = x2 · n sind alle Potenzfunktionen mit gerader Hochzahl gerade, ▪ wegen (–x)2 · n + 1 = –x2 · n + 1 sind alle Potenzfunktionen mit ungerader Hochzahl ungerade. a) x y – – y = x – · x + f b) x y – – – – – – – f y = · x – · x c) x y – – – – – – – f y = x +
19 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Gerade und ungerade Polynomfunktionen ▪ Polynomfunktionen mit ausschließlich geraden Hochzahlen sind gerade und deren Graphen damit achsensymmetrisch zur y-Achse. ▪ Polynomfunktionen mit ausschließlich ungeraden Hochzahlen sind ungerade und deren Graphen damit punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. 1.007 Symmetrie von Funktionen Entscheiden Sie über die Symmetrie der dargestellten Graphen. a) x y , – – – – y = sin(x) – – , x y , – – – – y = cos(x) – – , x y – – y = c c x y – – y = |x| b) x y , – – – – y = sin(x) – – , x y , – – – – y = cos(x) – – , x y – – y = c c x y – – y = |x| c) x y , – y = sin(x) – – , x y , – y = cos(x) – – , x y – – y = c c x y – – y = |x| d) x y , – y = sin(x) – – , x y , – y = cos(x) – – , x y – – y = c c x y – – y = |x| Der Graph ist symmetrisch bezüglich … 1.008 Bestimmung der Symmetrie Prüfen Sie, ob die Funktion f gerade oder ungerade, d. h. symmetrisch bezüglich der y-Achse oder des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie die Entscheidung rechnerisch. Zeichnen Sie den zugehörigen Graphen der Funktion. a) f(x) = x2 – 1 b) f(x) = 2 · x3 + 4 · x c) f(x) = 1 __ x d) f(x) = ex e) f(x) = e–x2 Übungsaufgaben: Symmetrie C B D
20 I Differenzialrechnung Z 1.1 Polstelle oder Lücke? Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x − 5 ______ x2 − 25 . a) Stellen Sie die Funktion grafisch dar. b) Entscheiden Sie, ob an den Stellen x0 = 5 und x0 = –5 eine Polstelle oder eine Lücke vorliegt. c) Geben Sie jenen Bereich an, für den die Funktion stetig ist. Z 1.2 Stetig? Ergänzen Sie mithilfe der Grafik die Definitionsmenge der dargestellten Funktion. D = ℝ \ { } stetig Lücke/Pol/Sprungstelle x0 x1 x2 x3 x4 x5 y x x1 x3 x0 x2 x4 x5 Kreuzen Sie an, an welchen Stellen x0 bis x5 die Funktion stetig ist. Geben Sie an, ob eine Lücke, eine Polstelle oder eine Sprungstelle vorliegt. Z 1.3 Symmetrie y x f A f(x) = 1 __ 2 · x4 + 1 __ 2 · x3 B f(x) = 1 __ 2 · x3 + 1 __ 2 · x y x f C f(x) = 1 __ 2 · x4 − 3 __ 2 · x2 D f(x) = 1 __ 2 · x3 − 3 __ 2 · x2 Ordnen Sie den beiden Graphen die jeweils passende Funktionsgleichung aus A – D zu. Ziele erreicht? – „Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen“ A B C A D C
21 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Z 1.4 Spielkonsole In der Abbildung ist die Anzahl N an verkauften Spielkonsolen in Abhängigkeit von der Zeit t ab Markteinführung dargestellt. 0 2 4 6 8 1012141618 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 t in Jahren N(t) in Millionen Stück N a) Beschreiben Sie das Verhalten der Funktion für immer größer werdendes t. b) Die Funktionsgleichung von N lautet: N(t) = 85 ______________ 1 + 20 · e−0,699 · t Begründen Sie anhand dieser Gleichung, das in a) beschriebene Verhalten. Einen Safety-Check finden Sie in der TRAUNER-DigiBox. D
22 I Differenzialrechnung Differenzen- und Differenzialquotient Momentangeschwindigkeit A B Linus fährt auf der Autobahn in 45 min von Landeck nach Innsbruck. Die zurückgelegte Entfernung beträgt 73 km. Kann er mit Sicherheit ausschließen, dass er nicht zu schnell unterwegs war? Lösung: Seine durchschnittliche Geschwindigkeit lässt sich mit der nachstehenden Formel berechnen: Geschwindigkeit = zurückgelegter Weg _________________ benötigte Zeit = 73 ____ 0,75 km ___ h ≈ 97,3 km/h Linus hat während seiner Fahrt durchschnittlich 97,3 Kilometer pro Stunde zurückgelegt. Das bedeutet aber nicht, dass er zu jedem Zeitpunkt mit 97,3 km/h gefahren sein muss. Der berechnete Wert gibt die mittlere zurückgelegte Strecke pro Zeiteinheit an. Nach Bearbeitung dieses Kapitels kann ich ▪ den Zusammenhang zwischen Differenzen- und Differenzialquotienten beschreiben und diese sowohl als mittlere oder lokale Änderungsraten als auch als Sekanten-oder Tangentensteigung interpretieren, ▪ den Differenzen- und Differenzialquotienten auf Problemstellungen anwenden, Berechnungen durchführen und die Ergebnisse interpretieren, ▪ den Begriff der Ableitungsfunktion beschreiben, diese grafisch darstellen und deren Verlauf deuten, ▪ mithilfe von Summen- und Faktorregel Potenz- und Polynomfunktionen ableiten. Worum geht's? Meine Ziele Bisher wurden Funktionen im Hinblick auf ihren Funktionswert untersucht. Im Folgenden soll festgestellt werden, wie sich die Änderung ∆x der unabhängigen Variablen x auf die Änderung ∆y des zugehörigen Funktionswerts y auswirkt. Um eine Antwort auf die obige Frage zu geben, muss man die Momentangeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt seiner Fahrt kennen. Man kann diese Momentangeschwindigkeit nur berechnen, indem man die für die Bewegung benötigte Zeit ∆t immer kürzer wählt bzw. den Grenzwert für ∆t gegen Null berechnet. Diesen Vorgang nennt man Differenzieren.
23 Differenzen- und Differenzialquotient 1 Der Differenzenquotient, die mittlere Änderungsrate Lineare Funktionen (Wiederholung und Vertiefung) Funktionen mit der Gleichung f(x) = k · x + d heißen lineare Funktionen. Ihr Graph ist eine Gerade. Die Steigung k gibt die Änderung des Funktionswerts bei Zunahme des x-Wertes um 1 an. Kennt man zwei Punkte P0(x0|y0) und P1(x1|y1), die auf einer Geraden liegen, so kann man die Steigung k der Geraden mithilfe des Differenzenquotienten berechnen. x y x1 – x0 x0 x1 y1 – y0 y = k · x + d P0(x0|y0) P1(x1|y1) Δy y1 y0 d Δx k = y1 − y0 ______ x1 − x0 = f(x1) − f(x0) __________ x1 − x0 = = ∆y ___ ∆x = Differenz der y-Werte ____________________ Differenz der x-Werte Geraden bzw. deren Steigung werden auch zur Beschreibung von anderen, nicht linearen Funktionen verwendet. Die Gerade wird je nach ihrer Lage bezüglich einer Funktion bezeichnet. Lage der Geraden Sekante Tangente Passante Die Gerade schneidet die Funktion in mindestens zwei Punkten. Die Gerade berührt die Funktion in einem Punkt. Die Gerade hat keinen Punkt mit der Funktion gemeinsam. Beispiel 1.7: Sekantengleichung A B a) Stellen Sie den Graphen von f mit f(x) = x 2 __ 4 dar. Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte P(2|f(2)) und Q(6|f(6)) ein. Lösung: x 0 1 2 3 4 5 6 y 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 f(2) = 1, f(6) = 9 Grafik: siehe Randspalte GLEICHUNG EINER SEKANTE So geht's Steigung einer Geraden: siehe 1. Jahrgang x y d 1 k 1 k k y = k · x + d 0 1 2 3 4 5 1 f y x – – – – – – – Sekante Passante Tangente Sekante, Tangente, Passante y P( | ) Q( | ) x – – ∆x = ∆y = y = x k = = ∆y ∆x x = x + ∆x = f(x ) x = f(x ) ∆ (Delta): griechischer Großbuchstabe für D (steht für Differenz) Das Symbol ∆x (sprich: „delta x“) steht für die Differenz oder Änderung von Werten auf der x-Achse. ∆x beschreibt den Abstand (Differenz) zwischen einem Startwert x0 und einem Endwert x1. ∆x = x1 – x0 Differenz der y-Werte: ∆y = y1 – y0 Zeitintervall: ∆t = t1 – t0
24 I Differenzialrechnung b) Stellen Sie die Gleichung der Sekante s auf. Lösung: Die Sekante s mit s(x) = k · x + d verläuft durch die Punkte P(2|1) und Q(6|9). k = ∆y ___ ∆x =9−1 _____ 6 − 2 = 8 __ 4 = 2 Durch Einsetzen der Koordinaten von P erhält man: 1 = 2 · 2 + d d = –3 Gleichung der Sekante: s(x) = 2 · x – 3 c) Berechnen Sie den Steigungswinkel von s. Lösung: Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck. Für den Steigungswinkel α gilt: tan(α) = k α = arctan(2) = 63,43° 1.009 Berechnung der Steigung einer Sekante Die Punkte A und B liegen auf dem Graphen einer Funktion f. Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch die Steigung der Sekante durch A und B. a) f(x) = x2 A(1|f(1)) B(4|f(4)) b) f(x) = x 2 – 4 _____ x + 1 A(1|f(1)) B(3|f(3)) 1.010 Steigungswinkel einer Sekante Die Punkte A und B liegen auf dem Graphen einer Funktion f. Ermitteln Sie den Steigungswinkel der zugehörigen Sekante. a) A(1|2), B(1,5|4) b) A(–1|0), B(2|1,5) c) A(–2|3), B(2|–1) 1.011 Sekantensteigung Ermitteln Sie die Steigung der Sekante durch die Punkte P1 und P2 mit den x-Werten x1 bzw. x2 für die jeweilige Funktion. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f und die zugehörige Sekante. a) f(x) = x2 x 1 = 2 x2 = 3 b) f(x) = 1 __ 2 · x2 – 2 · x x 1 = 0,5 x2 = 1 c) f(x) = √ __ x x1 = 1 x2 = 2 Übungsaufgaben: Sekanten B B C D A B k = tan(α) α = arctan(k) ∆y = 9 – 1 = 8 ∆x = 6 – 2 = 4 α Q(6|9) P(2|1)
25 Differenzen- und Differenzialquotient Der Differenzenquotient, die mittlere Änderungsrate Für eine Funktion f mit y = f(x) soll die mittlere Änderungsrate der Funktionswerte in einem Intervall [x0; x1] ermittelt werden. Diese entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte P0(x0|y0) und P1(x1|y1). f y x x = x + ∆x f(x ) x f(x ) P P ∆x = x – x ∆y = f(x ) – f(x ) = = f(x + ∆x) – f(x ) Sekante k = ∆y ___ ∆x = f(x1) − f(x0) __________ x1 − x0 k = f(x0 + ∆x) − f(x0) ______________ ∆x DEFINITION: DIFFERENZENQUOTIENT, MITTLERE ÄNDERUNGSRATE ∆y ___ ∆x = f(x0 + ∆x) – f(x0) ______________ ∆x heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate der Funktion f im Intervall [x0; x0 + ∆x]. Eigenschaften Differenzenquotient, mittlere Änderungsrate Der Differenzenquotient im Intervall [x0; x1] ▪ ist ein Quotient von Differenzen, also ein Bruch, ▪ gibt die mittlere Änderung des Funktionswerts im Intervall [x0; x1] an, ▪ gibt die Steigung der Sekante an, die durch die Kurvenpunkte mit den x-Werten x0 und x1 geht. Beispiel 1.8: Hobbygärtner A B D Eno ist Hobbygärtner und protokolliert die Höhe einer Pflanze zu bestimmten Zeitpunkten. Zeit t in Tagen 0 2 5 7 14 Höhe h(t) in cm 0135 6 a) Zeichnen Sie den Graphen der Wachstumsfunktion näherungsweise durch einen Polygonzug. Lösung: 2 4 6 8 101214 Höhe h(t) in cm 1 2 3 4 5 6 7 Zeit t in Tagen HÖHENWACHSTUM So geht's Ein Polygonzug (Streckenzug) entsteht, in dem man Punkte durch Strecken verbindet.
26 I Differenzialrechnung b) Aus seinen Messdaten ergeben sich vier Beobachtungsintervalle. ▪ Ermitteln Sie den Höhenzuwachs ∆h in jedem der vier Beobachtungsintervalle. ▪ Erklären Sie mithilfe der mittleren Änderungsrate ∆h ___ ∆t , in welchem der vier Beobachtungsintervalle die Pflanze „am schnellsten“ und in welchem der vier Beobachtungsintervalle die Pflanze „am langsamsten“ wächst. Lösung: Intervall Zeitdifferenz ∆t in Tagen Höhenzuwachs ∆h in cm Mittlere Änderungsrate ∆h ___ ∆t in cm ____ Tag [0; 2] 2 – 0 = 2 1 – 0 = 1 1 __ 2 [2; 5] 5 – 2 = 3 3 – 1 = 2 2 __ 3 [5; 7] 7 – 5 = 2 5 – 3 = 2 2 __ 2 = 1 [7; 14] 14 – 7 = 7 6 – 5 = 1 1 __ 7 Am langsamsten wächst die Pflanze im Durchschnitt vom 7. bis zum 14. Tag. Der mittlere Höhenzuwachs beträgt nur ∆h ___ ∆t = 1 __ 7 cm/Tag. Die Gerade durch die Punkte (7|5) und (14|6) hat die kleinste Steigung. Beispiel 1.9: Fahrplan A B Gegeben ist der Fahrplan der ÖBB von Wulkaprodersdorf bis Wien Meidling. Die angegebene Entfernung ist jeweils die Entfernung des Ortes von Wulkaprodersdorf. a) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Zuges zwischen Wulkaprodersdorf und Wien Meidling in allen angegebenen 5 Streckenabschnitten in km/h. Lösung: Abschnitt Zeitdifferenz ∆t in Minuten Wegstrecke ∆s in km Mittlere Geschwindigkeit ∆s ___ ∆t in km ___ h Wulkaprodersdorf – Müllendorf 4 6,5 6,5 km ______ 4 min = 97,5 km ___ h Müllendorf – Neufeld 7 14 – 6,5 = 7,5 7,5 km ______ 7 min ≈ 64,3 km ___ h Neufeld – Ebenfurth 5 16–14=2 2km _____ 5 min = 24 km ___ h Ebenfurth – Ebreichsdorf 7 25–16=9 9km _____ 7 min ≈ 77,1 km ___ h Ebreichsdorf – Wien Meidling 21 52 – 25 = 27 27 km ______ 21 min ≈ 77,1 km ___ h MITTLERE GESCHWINDIGKEIT So geht's Station Entfernung Zeit Wulkaprodersdorf 0 km ab 09:56 Müllendorf 6,5 km an 10:00 ab 10:01 Neufeld/Leitha 14 km an 10:08 ab 10:10 Ebenfurth 16 km an 10:15 ab 10:19 Ebreichsdorf 25 km an 10:26 ab 10:28 Wien Meidling 52 km an 10:49 Durchschnittliche Geschwindigkeit _ v = ∆s ___ ∆t Wien Semmering Wulkaprodersdorf Deutschkreuz Neufeld/L. Sopron Neusiedl/See Ebenfurth Wr. Neustadt Györ
27 Differenzen- und Differenzialquotient b) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Zuges zwischen Wulkaprodersdorf und Wien Meidling in km/h für die gesamte Reisezeit zwischen Abfahrt in Wulkaprodersdorf und Ankunft in Wien Meidling. Lösung: _ v= 52 km ______ 53 min ≈ 58,9 km/h Beispiel 1.10: Kraftstoffverbrauch A C In der Grafik in der Randspalte ist der Kraftstoffverbrauch K eines Pkws in Liter pro 100 km in Abhängigkeit von seiner Geschwindigkeit in km/h bei einer Testfahrt im höchsten Gang dargestellt. a) Ermitteln Sie grafisch die Steigung der Sekante durch die eingezeichneten Punkte. Lösung: 50 60 70 80 90 100 110 120 K(v) in L pro 100 km 5,5 6 6,5 7 7,5 8 40 5 v in km/h A B 100 – 60 7,5 – 5,9 Steigung der Sekante k = 7,5 − 5,9 ________ 100 − 60 = 0,04 b) Interpretieren Sie das Ergebnis aus a) im gegebenen Sachzusammenhang. Lösung: Steigt die Geschwindigkeit im Intervall [60; 100] um 1 km/h, so steigt der Treibstoffverbrauch durchschnittlich um 0,04 Liter pro 100 km. c) Ermitteln Sie die relative Änderung des Kraftstoffverbrauchs im Intervall [60; 100]. Lösung: relative Änderung: 7,5 − 5,9 ________ 5,9 ≈ 27,12 % INTERPRETATION DER SEKANTENSTEIGUNG So geht's 50 60 70 80 90 100 K(v) in L pro 100 km 5,5 6 6,5 7 7,5 8 40 5 v in km/h A B Relative (prozentuelle) Änderung von f in [a; b]: f(b) – f(a) _________ f(a) für f(a) ≠ 0
28 I Differenzialrechnung 1.012 Temperaturverlauf Das Diagramm zeigt die Temperatur T in °C in Abhängigkeit von der Uhrzeit an einem Novembertag. Temperatur (°C) ø 5,42°C Max: 8,8 Min: 3,7 02:00 04:00 06:00 08:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 00:00 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 00:00 a) Lesen Sie aus dem Diagramm die Temperatur für die angegebenen Zeitpunkte t in Stunden (h) ab Mitternacht ab. t in h 4 8 12 16 18 T(t) in °C b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur ∆T ___ ∆t in °C pro h für die Zeitintervalle [4; 8], [8; 12]; [12; 16] und [16; 18]. Interpretieren Sie jeweils das Vorzeichen. c) Erklären Sie, für welches dieser Zeitintervalle die mittlere Änderungsrate wenig aussagekräftig ist. d) Betrachten Sie die Zwei-Stunden-Intervalle [0; 2], [2; 4] usw. E rmitteln Sie, in welchem dieser Zeitintervalle sich die Temperatur am stärksten ändert. Erklären Sie, wie Sie diese stärkste Temperaturänderung in der Grafik erkennen. 1.013 Kaffee Frisch gebrühter Kaffee kühlt rasch ab. In der Tabelle ist die Temperatur T des Kaffees (in °C) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Minuten) seit Beginn einer Temperaturmessung angegeben. 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 Temperatur in °C 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Zeit in Sekunden Raumtemperatur a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur ∆T ___ ∆t in °C pro Minute für die Zeitintervalle [0; 1], [15; 16], [29; 30], [0; 15] und [15; 30]. b) Interpretieren Sie die Bedeutung der mittleren Änderungsraten für die Intervalle [0; 1] und [29; 30]. c) Erklären Sie anhand der berechneten Änderungsraten, wann sich die Temperatur des Kaffees am schnellsten ändert. Übungsaufgaben: Differenzenquotient C D A B Tragen Sie die Werte in die Tabelle ein. C D A B Zeit t in Minuten Temperatur T in °C 0 55,3 1 52,2 10 36,6 15 32,4 16 31,8 20 29,6 25 27,4 29 26,2 30 25,9
29 Differenzen- und Differenzialquotient 1.014 Stadtverkehr Das Bild in der Randspalte zeigt das Weg-Zeit-Diagramm (Weg in m, Zeit in s) eines Pkws im Stadtverkehr zwischen zwei Ampeln. Die ungleichförmige Bewegung besteht aus vier Abschnitten: [0; 8] Anfahren [8; 18] gleichförmige Bewegung [18; 21] Bremsen [21; 24] Stillstand Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit a) für das Anfahren, b) bei der gleichförmigen Bewegung und c) beim Bremsvorgang. d) Argumentieren Sie, ob durch diese mittleren Geschwindigkeiten der Bewegungszustand des Pkws ausreichend beschrieben werden kann. 1.015 Zugfahrplan Der Railjet 863 hat zwischen Innsbruck und Salzburg nebenstehende Abfahrts- und Ankunftszeiten. Entfernung von Innsbruck in km: Innsbruck Jenbach Wörgl Salzburg 0 35 60 255 a) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des RJX 863 zwischen Innsbruck und Salzburg. b) Berechnen Sie die mittleren Geschwindigkeiten für die drei Teilstrecken. c) Geben Sie an, auf welcher Teilstrecke der RJX 863 die größte mittlere Geschwindigkeit hat und auf welcher Teilstrecke er die kleinste mittlere Geschwindigkeit hat. 1.016 Aspirin Einer Gruppe von Versuchspersonen wird jeweils einmalig oral eine Dosis von 600 mg Aspirin verabreicht. Die Konzentration C des Arzneimittels Acetylsalicylsäure im Blut wird untersucht und in Abhängigkeit von der Zeit der folgenden Grafik dargestellt: 100 200 300 400 500 600 700 Konzentration in μg/ml 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Zeit in Minuten 0 a) Lesen Sie aus der Grafik ab, wann die Konzentration des Medikamentes maximal ist. Lesen Sie die maximale Konzentration ab. b) Unter einer Konzentration von 15 μg/ml wirkt das Medikament nicht mehr. Lesen Sie diesen Zeitpunkt ab. c) In der Tabelle sind weitere Messwerte aufgelistet. B erechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Konzentration ∆C ___ ∆t für folgende Zeitintervalle in Stunden (h): [0; 0,5], [1,5; 2], [2; 2,5] und [4; 8] C D A B 2 4 6 8 10 12 14 16 1820 2224 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 t in s s(t) in m 50 21 Bremsen gleichförmige Bewegung Anfahren Stillstand C A B Reisebegleiter Bahnhof/Haltestelle Innsbruck Hbf 09:14 Jenbach 09:31 Wörgl 09:45 Salzburg Hbf 11:02 C D A B t in h C(t) in μg/ml 0 0 0,5 20,5 1 37 1,5 44,5 2 48 2,5 41 3 35 4 31 6 25 8 18,5 10 12,5
30 I Differenzialrechnung 1.017 Anhalteweg In der nebenstehenden Abbildung ist der Anhalteweg eines Pkws in Abhängigkeit von dessen Geschwindigkeit beim Start des Bremsvorgangs dargestellt. a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate für das Intervall [100; 130]. b) Interpretieren Sie die mittlere Änderungsrate aus a) im gegebenen Sachzusammenhang. Annas Vater behauptet: „Wenn ich meine Geschwindigkeit um 1 km/h erhöhe, verlängert sich mein Anhalteweg um 1 m.“ c) Ermitteln Sie grafisch für welchen Geschwindigkeitsbereich diese Behauptung annähernd stimmt, wenn Annas Vater zunächst mit 30 km/h fährt. d) Begründen Sie, anhand der Grafik, warum diese Aussage nicht für den Geschwindigkeitsbereich [60; 100] gilt. 1.018 Preisentwicklung In der Tabelle sind die Preise pro Kilowatt-Peak (kWp) von Photovoltaikanlagen angeführt. Jahr Preis pro kWp in Euro 2006 6.000 2025 1.050 a) Ordnen Sie den beiden Größen jeweils den passenden Ausdruck für das Intervall [2006; 2025] aus A bis D zu: Mittlere Änderungsrate A 1 050 _____ 6 000 B 1 050 – 6 000 ____________ 19 Relative Änderung C 1 050 – 6 000 ____________ 6 000 D 2 025 – 2 006 ____________ 6 000 b) Die Preisentwicklung in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren kann mithilfe einer Funktion p beschrieben werden. t Zeit in Jahren mit t = 0 für 2006 p(t) Preis pro kWp in Euro zur Zeit t K reuzen Sie jenen Ausdruck an, mit dem die mittlere Änderungsrate des Preises für jedes Zeitintervall [0; n] berechnet werden kann. [1 aus 5] A B C D E p(n) ____ n p(n) − p(0) __________ p(0) p(n) − p(0) __________ p(n) p(n) − p(0) __________ n p(n) ____ p(0) □ □ □ □ □ C D A B 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Anhalteweg in m 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Geschwindigkeit in km/h 0 C
31 Differenzen- und Differenzialquotient 2 Der Differenzialquotient, die lokale Änderungsrate Der Differenzenquotient k = ∆y ___ ∆x = f(x1) – f(x0) __________ x1 – x0 gibt die mittlere Änderungsrate der Funktion f im Intervall [x0; x1] an. Grafisch bedeutet der Differenzenquotient die Steigung der Sekante durch die zwei Punkte P0(x0|f(x0)) und P1(x1|f(x1)) im Intervall [x0; x0 + ∆x]. Um die lokale oder momentane Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle x0 zu erhalten, müssen Sie das Intervall [x0; x1] des Differenzenquotienten verkleinern. Sie lassen „x1 gegen x0 gehen“; x1 → x0 bzw. verkleinern den Abstand ∆x zwischen den Stellen x1 und x0 so, dass „∆x gegen 0 geht“; ∆x → 0. Grafisch bedeutet dies den Übergang von der Sekantensteigung zur Steigung der Tangente an die Funktion. DEFINITION: DIFFERENZIALQUOTIENT Der Grenzwert lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) – f(x0) ______________ ∆x = f’(x0) heißt, falls dieser Grenzwert existiert, ▪ Differenzialquotient oder ▪ lokale Änderungsrate oder ▪ Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 ∈ D. Wenn der Differenzialquotient f’(x0) existiert, heißt die Funktion f differenzierbar an der Stelle x0. Es gibt unterschiedliche Schreibweisen für den Differenzialquotienten. Häufig schreibt man df ___ dx bzw. dy ___ dx . In dieser Schreibweise ersetzt man zum Zeichen des vollzogenen Grenzübergangs im Differenzenquotient den Buchstaben ∆ durch d. Aus der Differenz ∆x wird das Differenzial dx. Aus der Differenz ∆y wird das Differenzial dy. Trotz des Namens Differenzialquotient handelt es sich nicht um einen Quotienten, sondern um einen Grenzwert. Im Buch wird in weiterer Folge die Schreibweise f’(x0) für df ___ dx | x0 verwendet. Eigenschaften des Differenzialquotienten Der Differenzialquotient an der Stelle x0 ▪ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, ▪ gibt die Änderung des Funktionswertes an der Stelle x0 an und ▪ gibt die Steigung der Tangente an dieser Stelle x0 an. f y x x = x + ∆x f(x ) x f(x ) ∆x = x – x Sekante Tangente Der Differenzialquotient df__ dx ist trotz des Namens kein Quotient, sondern ein Grenzwert. Man kann hier nicht durch d kürzen. Schreib- und Sprechweisen für den Differenzialquotienten: f’ sprich: f Strich df ___ dx sprich: df nach dx f’(x0) sprich: f Strich an der Stelle x0 df ___ dx | x = x0 = df ___ dx | x0 sprich: df nach dx an der Stelle x0 y’ sprich: Ypsilon Strich dy ___ dx sprich: dy nach dx dy ___ dx | x = x0 = dy ___ dx | x0 sprich: dy nach dx an der Stelle x0
32 I Differenzialrechnung 2.1 Interpretation des Differenzialquotienten Der Differenzialquotient an einer Stelle x0 gibt die Steigung der Tangente an die Funktion an dieser Stelle an. Er ist aber gleichzeitig auch ein Näherungswert für die Änderung des Funktionswerts bei Erhöhung des x-Wertes um 1. f’(x0) ≈ f(x0 + ∆x) − f(x0) ______________ ∆x Für ∆x = 1 gilt näherungsweise: f’(x0) ≈ f(x0 + 1) − f(x0) ______________ 1 , daraus folgt: f(x0 + 1) ≈ f(x0) + f’(x0) Tangente oberhalb Tangente unterhalb y x x0 + 1 x0 f(x0) f’(x0) f(x0 + 1) f(x0) P f y x x0 + 1 x0 f(x0) f’(x0) f(x0 + 1) f(x0) P f Verläuft die Tangente oberhalb des Funktionsgraphen, ist f(x0 + 1) < f(x0) + f’(x0). Verläuft die Tangente unterhalb des Funktionsgraphen, ist f(x0 + 1) > f(x0) + f’(x0). Beispiel 1.11: Flächeninhalt des Quadrats A C In der Randspalte ist der Graph der Funktion A dargestellt, die den Flächeninhalt eines Quadrats in Abhängigkeit von der Seitenlänge s beschreibt. Ermitteln Sie grafisch a) die mittlere Änderungsrate von A im Intervall [2; 3]. b) die lokale Änderungsrate von A an der Stelle s = 2. Lösung: a) A 1 2 3 4 5 A(s) in m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 s in m 1 9 – 4 = 5 Die mittlere Änderungsrate im Intervall [2; 3] beträgt 5 m2/m. b) A 1 2 3 4 5 A(s) in m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 s in m 1 8 – 4 = 4 Die lokale Änderungsrate an der Stelle s = 2 beträgt 4 m2/m. VERGLEICH MITTLERE UND LOKALE ÄNDERUNGSRATE So geht's Differenzenquotient: Steigung der Sekante im Intervall [x0; x1] Differenzialquotient: Steigung der Tangente an der Stelle x0 A 1 2 3 4 5 A(s) in m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 s in m
33 Differenzen- und Differenzialquotient c) Interpretieren Sie die Bedeutung der lokalen Änderungsrate im gegebenen Sachzusammenhang. Lösung: Erhöht man die Seitenlänge des Quadrats von 2 m auf 3 m, so nimmt der Flächeninhalt um rund 4 m2 zu. Die lokale Änderungsrate ist eine Näherung an die tatsächliche Zunahme des Funktionswerts an der Stelle 2. 1.019 Niederschlag Die Wassermenge im Messbehälter eines Niederschlagmessers kann für einen Zeitraum von 24 Stunden durch den Graphen einer Funktion f modelliert werden. 2 4 6 8 1012141618202224 Wassermenge in Liter pro m2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Zeit in Stunden 0 f a) Ermitteln Sie die Niederschlagsmenge, die durchschnittlich innerhalb der dargestellten 24 Stunden pro Stunde gefallen ist. b) Ermitteln Sie die lokale Änderungsrate an der Stelle t = 10 Stunden und interpretieren Sie diese im gegebenen Sachzusammenhang. c) Argumentieren Sie grafisch, warum zum Zeitpunkt t = 10 Stunden die Intensität des Niederschlags am geringsten ist. Herr Marth liest seinen Niederschlagsmesser ab. Bis zum Ablesezeitpunkt sind bereits 7,6 mm Regen gefallen. mm/h 0 50 10 40 20 30 4,5 100 80 60 40 20 0 7,6 mm Regenmenge Regenrate d) Interpretieren Sie die Bedeutung der Regenrate 4,5. S chätzen Sie die gesamte Regenmenge, die eine Stunde nach dem Ablesezeitpunkt am Niederschlagsmesser angezeigt wird. Übungsaufgaben: Differenzialquotient interpretieren und ablesen C D B
34 I Differenzialrechnung 1.020 Erlös Der Graph beschreibt den Erlös E beim Verkauf eines Produkts in Abhängigkeit von der verkauften Menge x. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 E(x) in GE 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 x in ME 0 E a) Zeichnen Sie die Tangenten an E an den Stellen x = 30 ME und x = 120 ME in der Grafik ein. b) Ermitteln Sie jeweils die Steigung der Tangente und interpretieren Sie deren Wert im gegebenen Sachzusammenhang. 1.021 Sportwagen In der nachstehenden Abbildung ist die von einem Sportwagen zurückgelegte Strecke s zwischen zwei 530 m voneinander entfernten Ampeln in Abhängigkeit von der Zeit t dargestellt. 2 4 6 8 10121416182022242628303234363840 s(t) in Metern 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 t in Sekunden 0 s a) Ermitteln Sie die durchschnittliche Änderungsrate innerhalb der 40 Sekunden dauernden Fahrt. G eben Sie die entsprechende Einheit an und interpretieren Sie die durchschnittliche Änderungsrate im gegebenen Sachzusammenhang. b) Ermitteln Sie grafisch die momentane Änderungsrate nach 14 Sekunden und interpretieren Sie diese im gegebenen Sachzusammenhang. Schätzen Sie den zurückgelegten Weg nach 15 Sekunden. c) Zeigen Sie grafisch, dass die momentane Änderungsrate nach 26 Sekunden gleich groß wie jene nach 14 Sekunden ist. A C D A B
35 Differenzen- und Differenzialquotient 1.022 Gewinn Der Gewinn G in Geldeinheiten, der bei einer Produktion von x Mengeneinheiten erzielt wird, lässt sich als Funktion G beschreiben. Der Differenzialquotient an der Stelle x = 250 ist –8. Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Werts im gegebenen Sachzusammenhang. 1.023 Kosten Die Kosten K in Geldeinheiten, um x Tonnen Eisenerz zu gewinnen, sind durch die Funktion K gegeben. Der Differenzialquotient an der Stelle x = 2 000 ist 120. Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Werts im gegebenen Sachzusammenhang. 2.2 Berechnung des Differenzialquotienten mithilfe des Differenzenquotienten, Differenzierbarkeit Beispiel 1.12: Von der Sekanten- zur Tangentensteigung A B C Die lokale Änderungsrate der Funktion f mit f(x) = x 2 __ 4 an der Stelle x0 = 2 kann durch Annäherung von Sekanten an die Tangente ermittelt werden. Intervall [x0; x] ∆x = x – x0 ∆y = f(x) – f(x0) Differenzenquotient ∆y ___ ∆x [2; 6] 4 8 2 [2; 4] 2 3 1,5 [2; 3] 1 1,25 1,25 [2; 2,1] 0,1 0,1025 1,025 [2; 2,01] 0,01 0,010025 1,0025 [2; 2,001] 0,001 0,00100025 1,00025 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x → x0 ∆x → 0 ∆y → 0 ∆x ___ ∆y → 0 y x – – t k = x + ∆x f(x ) x s s s P Q Q Q Geometrische Interpretation: Strebt ∆x gegen null, so ergibt sich z. B. eine Folge von Punkten Q1(6|9), Q2(4|4), Q3(3|2,25), . . ., die sich immer mehr dem Punkt P(2|1) nähern. Entsprechend nähert sich die Folge der zugehörigen Sekanten s1, s2, s3, . . . der Tangente im Punkt P. Die Sekanten „drehen“ sich in die Tangente. ▪ Nach dem vollzogenen Grenzübergang ∆x → 0 erhalten Sie als Grenzwert der Sekantensteigungen die Tangentensteigung. ▪ Die Steigung der Tangente ist die Steigung der Funktion in P. C C Aus der Steigung der Sekante (Differenzenquotient) wird durch Grenzübergang die Steigung der Tangente (Differenzialquotient).
36 I Differenzialrechnung Beispiel 1.13 B Berechnen Sie mithilfe des Differenzenquotienten den Differenzialquotienten an f mit f(x) = x 2 __ 4 a) an der Stelle x0 = 2. Lösung: An der Stelle x0 = 2 für das Intervall [2; 2 + ∆x]: ∆y ___ ∆x = f(2 + ∆x) – f(2) _____________ ∆x = = 1 __ 4 · (2 + ∆x)2 – 1 ______________ ∆x = = 1 + ∆x + 1 __ 4 · (∆x)2 – 1 __________________ ∆x = = ∆x · (1 + 1 __ 4 · ∆x) _______________ ∆x = =1+1 __ 4 · ∆x b) an einer beliebigen Stelle x0. Lösung: An einer beliebigen Stelle x0 für ein beliebiges Intervall [x0; x0 + ∆x]: ∆y ___ ∆x = f(x0 + ∆x) – f(x0) _____________ ∆x = = 1 __ 4 · (x0 + ∆x) 2 – 1 __ 4 · x0 2 _________________ ∆x = = 1 __ 4 · x0 2 + 1 __ 2 · x0 · ∆x ______________________________ ∆x + + 1 __ 4 · (∆x)2 – 1 __ 4 · x0 2 ______________________________ ∆x = = ∆x · ( 1 __ 2 · x0 + 1 __ 4 · ∆x) __________________ ∆x = = 1 __ 2 · x0 + 1 __ 4 · ∆x Den Differenzialquotienten erhalten Sie durch den Grenzübergang ∆x → 0 an der Stelle x0 = 2 an der beliebigen Stelle x0 f ’(2) = lim ∆x→0 (1 + 1 __ 4 · ∆x) = 1 f’(x0) = lim ∆x→0 ( 1 __ 2 · x0 + 1 __ 4 · ∆x) = 1 __ 2 · x0 Die Funktion f’ mit f’(x) = 1 __ 2 · x heißt Ableitungsfunktion von f. Ist die Funktion an einer Stelle differenzierbar, so lässt sich die Funktion „in der Nähe“ dieser Stelle durch die Tangente annähern. P y = x t x y – – – – – – – y = x t x y P „in der Nähe“ von P verläuft die Kurve annähernd linear y = x t x y , , , , P BERECHNUNG DES DIFFERENZIALQUOTIENTEN So geht's
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